Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(2 x-\sqrt{x^{3}+3}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\bigl(2x - \sqrt{x^3+3}\bigr).
Este é um limite no infinito em que temos um termo linear 2x e um termo com raiz de potência maior \sqrt{x^3+3}. Vamos usar fatoração de potências e análise de comportamento assintótico para comparar esses dois termos.

Passo 2

Reescrevemos
\sqrt{x^3+3} = \sqrt{x^3\Bigl(1+\frac{3}{x^3}\Bigr)} = x^{3/2}\,\sqrt{1+\frac{3}{x^3}}.
Logo,
2x - \sqrt{x^3+3} = 2x - x^{3/2}\,\sqrt{1+\frac{3}{x^3}} = x^{3/2}\Bigl(\frac{2x}{x^{3/2}} - \sqrt{1+\tfrac{3}{x^3}}\Bigr) = x^{3/2}\Bigl(2\,x^{-1/2} - \sqrt{1+\tfrac{3}{x^3}}\Bigr).

Passo 3

Analisando o que acontece quando x\to+\infty:
  • 2\,x^{-1/2}\to 0, porque x^{-1/2}=1/\sqrt{x} vai a zero.
  • \sqrt{1+\tfrac{3}{x^3}}\to 1, já que \tfrac{3}{x^3}\to 0.
    Portanto o parêntese
2\,x^{-1/2} - \sqrt{1+\tfrac{3}{x^3}}
tende a 0 - 1 = -1.

Passo 4

Como x^{3/2}\to+\infty e o fator dentro do parêntese tende a -1, o produto
x^{3/2}\,\bigl(\dots\bigr)
tende a +\infty \times (-1) = -\infty.

Resposta

-\infty

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