Calcule os seguintes Limites: lim x 0 (1+x)(1+2 x)(1+3 x)-1x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando x se aproxima de 0 da expressão (1+x)(1+2x)(1+3x)-1x. Isso envolve conceitos de limites em cálculo, e para resolver, vamos precisar expandir os produtos no numerador e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador, que é (1+x)(1+2x)(1+3x). Vamos multiplicar dois fatores de cada vez para facilitar.
Vamos começar com (1+x)(1+2x):
(1+x)(1+2x) = 1 cdot 1 + 1 cdot 2x + x cdot 1 + x cdot 2x = 1 + 2x + x + 2x^2 = 1 + 3x + 2x^2

Passo 3

Agora, multiplicamos o resultado pelo terceiro fator (1+3x):
(1 + 3x + 2x^2)(1 + 3x) = 1 cdot 1 + 1 cdot 3x + 3x cdot 1 + 3x cdot 3x + 2x^2 cdot 1 + 2x^2 cdot 3x
Calculando cada termo:
1 + 3x + 3x + 9x^2 + 2x^2 + 6x^3 = 1 + 6x + 11x^2 + 6x^3

Passo 4

Substituímos de volta na expressão original do limite:
limx to 0 (1+x)(1+2x)(1+3x) - 1x = limx to 0 1 + 6x + 11x^2 + 6x^3 - 1x = limx to 0 6x + 11x^2 + 6x^3x

Passo 5

Podemos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por x:
6x + 11x^2 + 6x^3x = 6 + 11x + 6x^2

Passo 6

Agora, calculamos o limite substituindo x por 0:
6 + 11 cdot 0 + 6 cdot 0^2 = 6 + 0 + 0 = 6

Resposta

boxed6

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