Calcule os seguintes limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\ln (n+1)}{\ln (n)}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular o limite quando n vai para +\infty da sequência
\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função \ln é o logaritmo natural.
  • A variável n é um inteiro que tende a +\infty.
    O objetivo é encontrar
\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}.

Passo 2

Usar uma identidade elemental de logaritmos para separar a parte que muda pouco quando n cresce. Para n\ge1 vale
\ln(n+1)=\ln\bigl(n\cdot\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)\bigr)=\ln n+\ln\!\left(1+\tfrac{1}{n}\right).
Isto é só a regra \ln(ab)=\ln a+\ln b. Essa escrita é útil porque \ln(1+\tfrac{1}{n}) tende a 0 quando n\to\infty.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por \ln n (que é positivo para n\ge2) obtemos a forma
\frac{\ln(n+1)}{\ln n} =1+\frac{\ln\!\left(1+\tfrac{1}{n}\right)}{\ln n}.
Logo, para achar o limite original basta estudar
\frac{\ln\!\left(1+\tfrac{1}{n}\right)}{\ln n}
quando n\to\infty.

Passo 4

Mostrar que o termo extra tende a 0. Primeiro, lembrando uma desigualdade simples e muito útil: para todo u>-1 vale
\ln(1+u)\le u.
Uma justificativa rápida é considerar h(u)=u-\ln(1+u). Tem-se h'(u)=1-\tfrac{1}{1+u}=\tfrac{u}{1+u}\ge0 para u>-1, e h(0)=0, portanto h(u)\ge0, ou seja \ln(1+u)\le u.

Passo 5

Aplicando essa desigualdade com u=\tfrac{1}{n}>0 obtemos
0<\ln\!\left(1+\tfrac{1}{n}\right)\le \tfrac{1}{n}.
Dividindo por \ln n>0 segue
0<\frac{\ln\!\left(1+\tfrac{1}{n}\right)}{\ln n}\le\frac{1}{n\ln n}.

Passo 6

Agora note que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\ln n}=0,
porque o denominador n\ln n cresce sem limite (já que n\to\infty e \ln n\to\infty, logo o produto vai para +\infty). Pelo princípio da sanduíche (teorema do confronto), da desigualdade do Passo 5 obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\tfrac{1}{n}\right)}{\ln n}=0.

Passo 7

Voltando à expressão do Passo 3, como a segunda parcela tende a 0, conclui-se que
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln n}=1+0=1.

Resposta

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