Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular o limite quando
vai para
da sequência
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função
é o logaritmo natural. - A variável
é um inteiro que tende a .
O objetivo é encontrar
Passo 2
Usar uma identidade elemental de logaritmos para separar a parte que muda pouco quando
cresce. Para
vale
Isto é só a regra
. Essa escrita é útil porque
tende a
quando
.
Passo 3
Dividindo ambos os lados por
(que é positivo para
) obtemos a forma
Logo, para achar o limite original basta estudar
quando
.
Passo 4
Mostrar que o termo extra tende a
. Primeiro, lembrando uma desigualdade simples e muito útil: para todo
vale
Uma justificativa rápida é considerar
. Tem-se
para
, e
, portanto
, ou seja
.
Passo 5
Aplicando essa desigualdade com
obtemos
Dividindo por
segue
Passo 6
Agora note que
porque o denominador
cresce sem limite (já que
e
, logo o produto vai para
). Pelo princípio da sanduíche (teorema do confronto), da desigualdade do Passo 5 obtemos
Passo 7
Voltando à expressão do Passo 3, como a segunda parcela tende a
, conclui-se que