Calcule os seguintes limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{2 n-1}{n}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcula-se o limite quando n \to +\infty da sequência dada por
\frac{2n-1}{n}.
Informações relevantes:
  • A variável que cresce é n e ela tende a +\infty.
  • A expressão é uma razão de polinômios em n: numerador 2n-1 e denominador n.
  • A tarefa é simplificar e avaliar o comportamento dessa expressão quando n fica muito grande.

Passo 2

Simplificar a expressão para ver o comportamento quando n cresce. Divido numerador e denominador por n:
\frac{2n-1}{n}=\frac{2n}{n}-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}.
Explicando passo a passo: \dfrac{2n}{n}=2 porque é a divisão de 2n por n, e o termo -\dfrac{1}{n} vem do -1 dividido por n.

Passo 3

Analisar o limite do termo \dfrac{1}{n} quando n\to+\infty. Intuição: conforme n cresce, \dfrac{1}{n} fica cada vez menor e tende a zero. Vou dar uma prova curta e rigorosa (estilo \varepsilon N):
Seja \varepsilon>0. Escolha N inteiro tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon} (por exemplo N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil). Para todo n\ge N vale
0<\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Logo, por definição, \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0.

Passo 4

Usar as propriedades dos limites (limite da soma/diferença, e limite de constante): se \lim_{n\to\infty} a_n=a e \lim_{n\to\infty} b_n=b então \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=a+b. Aplicando ao caso:
  • \displaystyle\lim_{n\to\infty}2=2 (constante).
  • \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 (do Passo 3).
    Portanto, pela linearidade do limite,
\lim_{n\to\infty}\left(2-\frac{1}{n}\right)=2-0.

Passo 5

Interpretação final do cálculo feito: a expressão simplificada \,2-\dfrac{1}{n}\, tende a 2 quando n cresce sem limite, porque o termo \dfrac{1}{n} desaparece (tende a zero).

Resposta

2