Calcule os seguintes limites:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcula-se o limite quando
da sequência dada por
Informações relevantes:
- A variável que cresce é
e ela tende a . - A expressão é uma razão de polinômios em
: numerador e denominador . - A tarefa é simplificar e avaliar o comportamento dessa expressão quando
fica muito grande.
Passo 2
Simplificar a expressão para ver o comportamento quando
cresce. Divido numerador e denominador por
:
Explicando passo a passo:
porque é a divisão de
por
, e o termo
vem do
dividido por
.
Passo 3
Analisar o limite do termo
quando
. Intuição: conforme
cresce,
fica cada vez menor e tende a zero. Vou dar uma prova curta e rigorosa (estilo
–
):
Seja
. Escolha
inteiro tal que
(por exemplo
). Para todo
vale
Logo, por definição,
.
Passo 4
Usar as propriedades dos limites (limite da soma/diferença, e limite de constante): se
e
então
. Aplicando ao caso:
-
(constante). -
(do Passo 3).
Portanto, pela linearidade do limite,
Passo 5
Interpretação final do cálculo feito: a expressão simplificada
tende a
quando
cresce sem limite, porque o termo
desaparece (tende a zero).