Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2025^{-x}}{2026^{-x-2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{2025^{-x}}{2026^{-x-2}}.
Informações dadas: a expressão envolve potências de bases positivas 2025 e 2026 com expoentes lineares em x. O que se pede é o valor desse limite quando x tende a -\infty.

Passo 2

Relembrando regras de potências que vou usar (o que cada coisa significa):
  • Para qualquer base positiva a e expoentes m,n,
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},
isso significa que multiplicar potências da mesma base soma os expoentes.
  • A divisão por uma potência equivale a multiplicar pela potência inversa:
\frac{1}{a^{n}}=a^{-n},
ou equivalentemente
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
  • Potências com expoente negativo significam inverso:
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}.
  • Potências com mesmo expoente podem ser combinadas como
a^{x}b^{x}=(ab)^{x} \qquad\text{e}\qquad \frac{a^{x}}{b^{x}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{x}.
Exemplo rápido e concreto: \dfrac{2^{-3}}{5^{-3}}=2^{-3}\cdot5^{3}=(5/2)^{3}.

Passo 3

Aplicando a regra de multiplicação pelo inverso para transformar a divisão em produto:
\frac{2025^{-x}}{2026^{-x-2}}=2025^{-x}\cdot 2026^{x+2},
pois \dfrac{1}{2026^{-x-2}}=2026^{x+2}.

Passo 4

Agora reorganizo as potências para agrupar os termos dependentes de x e os constantes:
2025^{-x}\cdot 2026^{x+2}=2026^{2}\cdot 2026^{x}\cdot 2025^{-x}.
Em seguida uso a propriedade \;2026^{x}\cdot 2025^{-x}=\left(\dfrac{2026}{2025}\right)^{x}\;. Assim a expressão fica
2026^{2}\cdot\left(\frac{2026}{2025}\right)^{x}.

Passo 5

Análise do comportamento quando x\to -\infty:
  • A razão \dfrac{2026}{2025} é um número maior que 1 1+\tfrac{1}{2025}).
  • Para qualquer número a>1 tem-se \lim_{x\to -\infty} a^{x}=0, porque aumentar o expoente negativo em módulo faz a potência decair até 0.
    Portanto
\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{2026}{2025}\right)^{x}=0.
Multiplicando por 2026^{2} (constante finita) não altera esse limite, então o produto tende a 0.

Passo 6

Conclusão: o limite da expressão dada quando x tende a -\infty é 0.

Resposta

0

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