Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas: a expressão envolve potências de bases positivas
e
com expoentes lineares em
. O que se pede é o valor desse limite quando
tende a
.
Passo 2
Relembrando regras de potências que vou usar (o que cada coisa significa):
- Para qualquer base positiva
e expoentes ,
isso significa que multiplicar potências da mesma base soma os expoentes.
- A divisão por uma potência equivale a multiplicar pela potência inversa:
ou equivalentemente
- Potências com expoente negativo significam inverso:
- Potências com mesmo expoente podem ser combinadas como
Exemplo rápido e concreto:
.
Passo 3
Aplicando a regra de multiplicação pelo inverso para transformar a divisão em produto:
pois
.
Passo 4
Agora reorganizo as potências para agrupar os termos dependentes de
e os constantes:
Em seguida uso a propriedade
. Assim a expressão fica
Passo 5
Análise do comportamento quando
:
- A razão
é um número maior que (é ). - Para qualquer número
tem-se , porque aumentar o expoente negativo em módulo faz a potência decair até .
Portanto
Multiplicando por
(constante finita) não altera esse limite, então o produto tende a
.
Passo 6
Conclusão: o limite da expressão dada quando
tende a
é
.