Calcule os seguintes limites: lim x 9 3-raizxraizx-5-2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício envolve cálculo de limites, que é uma parte da Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 3 - raiz9raiz9 - 5 - 2 = 3 - 3raiz4 - 2 = 02 - 2 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Obtivemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para lidar com raízes é multiplicar pelo conjugado. Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é 3 - raizxraizx-5 - 2 times 3 + raizx3 + raizx = (3 - raizx)(3 + raizx)(raizx-5 - 2)(3 + raizx) :

Passo 4

No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
(3 - raizx)(3 + raizx) = 3^2 - (raizx)^2 = 9 - x
Então a expressão fica:
9 - x(raizx-5 - 2)(3 + raizx)

Passo 5

Vamos reorganizar o numerador:
9 - x = -(x - 9) = -( raizx^2 - 9 ) = -(raizx - 3)(raizx + 3)
Substituindo de volta na fração:
-(raizx - 3)(raizx + 3)(raizx-5 - 2)(3 + raizx) = -(raizx - 3)raizx-5 - 2

Passo 6

Agora, vamos multiplicar novamente pelo conjugado do denominador -(raizx - 3)raizx-5 - 2 times raizx-5 + 2raizx-5 + 2 = -(raizx - 3)(raizx-5 + 2)(raizx-5)^2 - 2^2 :
(raizx-5)^2 - 4 = x - 5 - 4 = x - 9
Calculando o denominador:

Passo 7

Substituindo de volta, temos:
-(raizx - 3)(raizx-5 + 2)x - 9 = -(raizx - 3)(raizx-5 + 2)(raizx)^2 - 9 = -(raizx - 3)(raizx-5 + 2)(raizx - 3)(raizx + 3)
Podemos cancelar o termo -(raizx-5 + 2)raizx + 3 no numerador e denominador:

Passo 8

Agora podemos substituir -(raiz9 - 5 + 2)raiz9 + 3 = -(raiz4 + 2)3 + 3 = -(2 + 2)6 = -46 = -23 sem obter indeterminação:

Resposta

lim x 9 3-raizxraizx-5-2 = -23

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