Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \log _{2}(x)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a +\infty da função \log_{2}(x). Informações importantes fornecidas:
  • A variável x vai para +\infty.
  • A função considerada é \log_{2}(x), definida para x>0.
  • A pergunta é: qual é o comportamento de \log_{2}(x) quando x cresce sem limite?

Passo 2

Vamos lembrar o que é \log_{2}(x). Por definição, \log_{2}(x) é o número y tal que 2^{y}=x. Em palavras: \log_{2}(x) responde “qual potência de 2 dá x?”.
Propriedades úteis e simples que vamos usar:
  • A função x\mapsto\log_{2}(x) é crescente em (0,+\infty): se 0<a<b então \log_{2}(a)<\log_{2}(b).
  • Para qualquer base a>1 vale a identidade de mudança de base. Em particular,
\log_{2}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(2)},
onde \ln é o logaritmo natural e \ln(2)>0.

Passo 3

Modo direto e intuitivo (usando a definição inversa de exponencial):
  • Dado qualquer número real grande M>0, considere x=2^{M}. Então, pela definição de logaritmo,
\log_{2}\bigl(2^{M}\bigr)=M.
  • Como \log_{2} é crescente, para todo x\ge 2^{M} temos
\log_{2}(x)\ge \log_{2}\bigl(2^{M}\bigr)=M.
  • Isso mostra explicitamente: para qualquer valor arbitrariamente grande M existe X=2^{M} tal que sempre que x\ge X temos \log_{2}(x)\ge M. Em termos de limites, isso significa que \log_{2}(x) cresce além de qualquer limite fixado quando x\to+\infty.

Passo 4

Modo alternativo (mudança de base, para ver outra perspectiva):
\log_{2}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(2)}.
Como \ln(2)>0, o comportamento de \log_{2}(x) quando x\to+\infty é o mesmo de \ln(x) multiplicado por uma constante positiva. E sabemos (pela mesma argumentação com exponencial) que \lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty. Logo \lim_{x\to+\infty}\log_{2}(x)=+\infty.

Passo 5

Interpretação final e um empurrãozinho de confiança: a função logaritmo cresce sem limite quando x cresce, embora cresça devagar — mas “devagar” não impede que ela vá para +\infty. Se isso parece estranho, lembre: para dobrar o valor de \log_{2}(x) é preciso elevar x a uma potência de 2 ainda maior, então o log cresce lentamente, mas sem teto.

Resposta

+\infty