Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da função
. Informações importantes fornecidas:
- A variável
vai para . - A função considerada é
, definida para . - A pergunta é: qual é o comportamento de
quando cresce sem limite?
Passo 2
Vamos lembrar o que é
. Por definição,
é o número
tal que
. Em palavras:
responde “qual potência de 2 dá
?”.
Propriedades úteis e simples que vamos usar:
Propriedades úteis e simples que vamos usar:
- A função
é crescente em : se então . - Para qualquer base
vale a identidade de mudança de base. Em particular,
onde
é o logaritmo natural e
.
Passo 3
Modo direto e intuitivo (usando a definição inversa de exponencial):
- Dado qualquer número real grande
, considere . Então, pela definição de logaritmo,
- Como
é crescente, para todo temos
- Isso mostra explicitamente: para qualquer valor arbitrariamente grande
existe tal que sempre que temos . Em termos de limites, isso significa que cresce além de qualquer limite fixado quando .
Passo 4
Modo alternativo (mudança de base, para ver outra perspectiva):
Como
, o comportamento de
quando
é o mesmo de
multiplicado por uma constante positiva. E sabemos (pela mesma argumentação com exponencial) que
. Logo
.
Passo 5
Interpretação final e um empurrãozinho de confiança: a função logaritmo cresce sem limite quando
cresce, embora cresça devagar — mas “devagar” não impede que ela vá para
. Se isso parece estranho, lembre: para dobrar o valor de
é preciso elevar
a uma potência de 2 ainda maior, então o log cresce lentamente, mas sem teto.