Calcule os seguintes limites: (0 3 P t s) lim (x, y) (0,0) e^sin (x^2 y)+cos ycos (x y)

Passo 1

Beleza, temos um limite para calcular: lim (x, y) (0,0) e^sin (x^2 y)+cos ycos (x y). O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como cada parte da função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador: e^sin(x^2 y) + cos y. Quando (x, y) (0,0), x^2 y também vai para 0. A função seno de algo próximo de 0 é aproximadamente igual ao próprio argumento, então sin(x^2 y) approx x^2 y. Portanto, e^sin(x^2 y) approx e^0 = 1.

Passo 3

Agora, olhemos para cos y. Quando y se aproxima de 0, cos y se aproxima de 1. Então, o numerador todo fica aproximadamente 1 + 1 = 2.

Passo 4

No denominador, temos cos(x y). Quando (x, y) (0,0), x y também vai para 0. A função cosseno de algo próximo de 0 é aproximadamente 1. Então, cos(x y) approx 1.

Passo 5

Juntando tudo, o numerador está se aproximando de 2 e o denominador está se aproximando de 1. Então, o limite da fração inteira é 21 = 2.

Resposta

O limite é igual a 2.

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