Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível: (f) lim x pi3 1-2 cos xsen(x-pi3)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Para isso, vamos usar conceitos de limites notáveis e propriedades das funções trigonométricas. Precisaremos conhecer a definição de limite e como aplicar identidades trigonométricas para simplificar expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando cos(pi3) = 12 Rightarrow 1 - 2 cdot 12 = 0 se aproxima de sen(pi3 - pi3) = sen(0) = 0 .
No numerador: .
No denominador: .
Quando :
E
Então, temos uma forma indeterminada , o que nos permite aplicar a regra de L’Hôpital ou simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos optar por simplificar a expressão usando a expansão de cos x = cos(pi3 + h) = cos(pi3)cos h - sen(pi3)sen h em torno de cos x = 12 cos h - raiz32 sen h . Sabemos que:
Onde . Substituindo:

Passo 4

Substituindo 1 - 2 cos x = 1 - 2(12 cos h - raiz32 sen h) = 1 - cos h + raiz3 sen h na expressão original:
Então, o limite passa a ser:

Passo 5

Vamos separar a fração:
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

Assim, o limite é:
0 + raiz3 = raiz3
Portanto, .

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