Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível: (f)
Passo 1
Vamos resolver o limite . Para isso, vamos usar conceitos de limites notáveis e propriedades das funções trigonométricas. Precisaremos conhecer a definição de limite e como aplicar identidades trigonométricas para simplificar expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de
.
No numerador:
.
No denominador: .
Quando
:
E
Então, temos uma forma indeterminada
, o que nos permite aplicar a regra de L’Hôpital ou simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos optar por simplificar a expressão usando a expansão de
em torno de
. Sabemos que:
Onde
. Substituindo:
Passo 4
Substituindo
na expressão original:
Então, o limite passa a ser:
Passo 5
Vamos separar a fração:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
Assim, o limite é:
Portanto, .