Calcule a série de Fourier da função
dada por
Esboce o gráfico da função definida por esta série e use a série para obter que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a série de Fourier da função
que é igual a 0 quando
e igual a 1 quando
. A função se repete a cada
. Para resolver isso, vamos precisar entender como as séries de Fourier funcionam, ou seja, como representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Vamos passo a passo descobrir os coeficientes que vão compor essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer função periódica
com período
pode ser escrita como uma soma de termos
,
e
:
Aqui,
é o termo constante,
são os coeficientes dos cossenos e
são os coeficientes dos senos. Nosso objetivo é encontrar todos esses coeficientes para a função dada.
Passo 3
Vamos começar calculando
, que representa a média da função no intervalo de um período. A fórmula para
é:
Substituindo
na integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
. A fórmula é:
Mas como
de
a
, a integral fica:
Pois
para qualquer inteiro
.
Passo 5
Vamos calcular agora os coeficientes
para
. A fórmula é:
Novamente,
de
a
, então:
Simplificando:
Passo 6
Observamos que
é igual a:
- 0 quando
é par - 2 quando
é ímpar
Portanto, os coeficientes
são zero para
par e
para
ímpar. Podemos reescrever a série considerando apenas os termos ímpares:
Passo 7
Agora que temos a série de Fourier, podemos esboçar o gráfico. A função
é uma onda quadrada que sobe de 0 para 1 em
e volta para 0 em
, repetindo-se a cada
. A série de Fourier representa essa função como uma soma infinita de ondas senoidais de frequências ímpares, ajustando os termos para aproximar a forma quadrada.
Passo 8
Por fim, vamos usar a série de Fourier para encontrar a soma infinita dada:
Sabemos que a série de Fourier da função
no ponto
converge para o valor médio da função, que é
. Substituindo
na série:
Simplificando e resolvendo, chegaremos à conclusão de que: