Calcule a solubilidade molar do acetato de prata a 25^{\circ} \mathrm{C} em:
Água.
( Dado Kps \_\{\mathrm{AgAc}\}=4 \times 10^{-3} ; \mathrm{K}\_{\mathrm{aHac}}=1,8 \times 10^{-5})

Passo 1

O enunciado pede a solubilidade molar do acetato de prata em água a 25^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos:
K_{ps}(\mathrm{AgAc}) = 4\times 10^{-3}
K_{a}(\mathrm{HAc}) = 1{,}8\times 10^{-5}
O que precisamos encontrar: a solubilidade molar s em mol L ^{-1}, ou seja, a concentração de \mathrm{Ag^+} em solução saturada em água pura a 25^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Vamos entender as reações envolvidas e definir incógnitas.
  1. Dissolução do acetato de prata:
\mathrm{AgAc(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Ag^+} + \mathrm{Ac^-}
Se chamar de s a solubilidade molar, então na presença de água pura, em equilíbrio:
[\mathrm{Ag^+}] = s
mas nem todo [\mathrm{Ac^-}] permanecerá livre: parte do \mathrm{Ac^-} sofre hidrólise (é uma base conjugada) e forma ácido acético \mathrm{HAc}.
  1. Hidrólise do ânion acetato:
\mathrm{Ac^-} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{HAc} + \mathrm{OH^-}
Essa reação tem constante básica K_b, relacionada com K_a por
K_b = \frac{K_w}{K_a},
onde K_w = 1{,}0\times 10^{-14} a 25^\circ\mathrm{C}.
Definimos x como a fração (em mol L ^{-1}) de acetato que se converte em \mathrm{HAc}. Então, em equilíbrio:
[\mathrm{Ac^-}] = s - x,
[\mathrm{HAc}] = x,
[\mathrm{OH^-}] = x \quad(\text{partindo de água pura, desprezando }[ \mathrm{OH^-}]_{\text{água}}).áá

Passo 3

Escrever as expressões das constantes:
  1. Produto de solubilidade:
K_{ps} = [\mathrm{Ag^+}][\mathrm{Ac^-}] = s\,(s - x) = 4\times 10^{-3}.
  1. Constante de hidrólise K_b:
K_b = \frac{[\mathrm{HAc}][\mathrm{OH^-}]}{[\mathrm{Ac^-}]} = \frac{x\cdot x}{s - x}=\frac{x^2}{s - x}.
Também relacionamos K_b com K_a:
K_b = \frac{K_w}{K_a} = \frac{1{,}0\times 10^{-14}}{1{,}8\times 10^{-5}}.

Passo 4

Calcular numericamente K_b:
K_b=\frac{1{,}0\times 10^{-14}}{1{,}8\times 10^{-5}}=5{,}555\ldots\times 10^{-10}\approx 5{,}56\times 10^{-10}.

Passo 5

Analisar ordens de grandeza para escolher aproximação prática.
Se a hidrólise fosse desprezível, teríamos s_0=\sqrt{K_{ps}}=\sqrt{4\times 10^{-3}}. Vamos calcular esse valor inicial:
s_0=\sqrt{4\times 10^{-3}}=2\times 10^{-1.5}=0{,}0632456\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\approx 6{,}32\times 10^{-2}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Agora estimamos x usando a aproximação s-x\approx s na expressão de K_b, porque suspeitamos que x será muito menor que s (já que K_b é muito pequeno):
x^2 \approx K_b\,s_0.
Logo
x \approx \sqrt{K_b\,s_0}=\sqrt{5{,}56\times 10^{-10}\times 6{,}32456\times 10^{-2}}.

Passo 6

Calcular x:
Multiplicação interna:
5{,}56\times 10^{-10}\times 6{,}32456\times 10^{-2}=3{,}51\times 10^{-11}.
Então
x\approx \sqrt{3{,}51\times 10^{-11}}\approx 5{,}93\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Comparando x com s_0:
\frac{x}{s_0}\approx\frac{5{,}93\times 10^{-6}}{6{,}32\times 10^{-2}}\approx 9{,}4\times 10^{-5},
ou seja, x é cerca de 0{,}009\% de s_0. Portanto a aproximação s-x\approx s é absolutamente válida: a hidrólise consome uma fração irrelevante do acetato.

Passo 7

Comprovando que a correção é desprezível, voltamos à equação do Kps e usamos s\approx s_0:
K_{ps}=s\,(s-x)\approx s^2,
portanto
s\approx \sqrt{K_{ps}}=\sqrt{4\times 10^{-3}}=6{,}32\times 10^{-2}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Se quiséssemos, poderíamos refinar iterativamente calculando um s ligeiramente maior para compensar x, mas a diferença é da ordem de 10^{-6} em s, insignificante para a solubilidade exibida.

Resposta

s\approx 6{,}32\times 10^{-2}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}