Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas: x^2 y'' + x y' + 4 y = 0 Res.: y = c1 cos(2 ln(x)) + c2 sen(2 ln(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem e do tipo Cauchy-Euler. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas equações funcionam e aplicar o método específico para elas.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação dada é uma equação diferencial linear de Cauchy-Euler. Esse tipo de equação tem a forma geral:
onde e são constantes. Para resolver, assumimos uma solução do tipo , onde é um número que vamos determinar.

Passo 3

Vamos substituir na equação. Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora, fatoramos da expressão:
Como nunca é zero para , podemos igualar a parte entre colchetes a zero:
Simplificando:
Então, a equação característica é:

Passo 5

Resolvendo a equação característica :
Aqui, encontramos raízes complexas , onde e .

Passo 6

Quando temos raízes complexas , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados