Calcule a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{1 / n}-e^{1 /(n+1)}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:\n
  • Pede o valor da soma da série infinita \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{1/n}-e^{1/(n+1)}\right).\n
  • Informações dadas: os termos da série são da forma \displaystyle a_n = e^{1/n}-e^{1/(n+1)} para n=1,2,3,\dots.\n
  • Pergunta implícita: a série converge? Se sim, qual é o seu somatório?

Passo 2

Ideia chave (telescopia) explicada de forma didática:\n
  • Uma série é telescópica quando, ao escrever a soma parcial, muitos termos se cancelam entre si.\n
  • Para ver isso na prática, é útil considerar a soma parcial S_N definida por
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(e^{1/n}-e^{1/(n+1)}\right).
  • A estratégia é escrever explicitamente os primeiros termos de S_N e observar os cancelamentos.

Passo 3

Escrevendo os primeiros termos e vendo o cancelamento (exemplo concreto):\n
  • Escrevendo os termos para n=1,2,3 temos
\begin{aligned} &\text{para }n=1:\quad e^{1/1}-e^{1/2},\\\ &\text{para }n=2:\quad e^{1/2}-e^{1/3},\\\ &\text{para }n=3:\quad e^{1/3}-e^{1/4}. \end{aligned}
  • Somando esses três termos obtemos
\left(e^{1}-e^{1/2}\right)+\left(e^{1/2}-e^{1/3}\right)+\left(e^{1/3}-e^{1/4}\right)=e^{1}-e^{1/4},
ou seja, e^{1/2} e e^{1/3} cancelaram. Isso dá uma boa intuição do padrão geral.

Passo 4

Fórmula geral da soma parcial e telescopia completa:\n
  • Aplicando o mesmo raciocínio até N, todos os termos intermediários cancelam, ficando apenas o primeiro termo do primeiro par menos o segundo termo do último par:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(e^{1/n}-e^{1/(n+1)}\right)=e^{1}-e^{1/(N+1)}.
  • Aqui S_N é a soma dos N primeiros termos; note que e^{1}=e.

Passo 5

Passagem ao limite N\to\infty e justificativa da convergência:\n
  • Para obter a soma da série infinita, tomamos o limite das somas parciais:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{1/n}-e^{1/(n+1)}\right)=\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\left(e-e^{1/(N+1)}\right).
  • Observação sobre limites: \displaystyle \frac{1}{N+1}\to 0 quando N\to\infty. Como a função exponencial x\mapsto e^{x} é contínua, tem-se
\lim_{N\to\infty}e^{1/(N+1)}=e^{0}=1.
  • Portanto
\lim_{N\to\infty}S_N=e-1.

Passo 6

Comentário final sobre comportamento e rigor rápido:\n
  • A sequência das somas parciais S_N=e-e^{1/(N+1)} é crescente (porque e^{1/(N+1)} é decrescente) e limitada acima por e-1, logo converge para seu supremo e-1. Isso dá uma confirmação extra da convergência encontrada pelo cálculo do limite.

Resposta

e-1

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