Calcule a soma da série
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:\n
- Pede o valor da soma da série infinita
.\n - Informações dadas: os termos da série são da forma
para .\n - Pergunta implícita: a série converge? Se sim, qual é o seu somatório?
Passo 2
Ideia chave (telescopia) explicada de forma didática:\n
- Uma série é telescópica quando, ao escrever a soma parcial, muitos termos se cancelam entre si.\n
- Para ver isso na prática, é útil considerar a soma parcial
definida por
- A estratégia é escrever explicitamente os primeiros termos de
e observar os cancelamentos.
Passo 3
Escrevendo os primeiros termos e vendo o cancelamento (exemplo concreto):\n
- Escrevendo os termos para
temos
- Somando esses três termos obtemos
ou seja,
e
cancelaram. Isso dá uma boa intuição do padrão geral.
Passo 4
Fórmula geral da soma parcial e telescopia completa:\n
- Aplicando o mesmo raciocínio até
, todos os termos intermediários cancelam, ficando apenas o primeiro termo do primeiro par menos o segundo termo do último par:
- Aqui
é a soma dos primeiros termos; note que .
Passo 5
Passagem ao limite
e justificativa da convergência:\n
- Para obter a soma da série infinita, tomamos o limite das somas parciais:
- Observação sobre limites:
quando . Como a função exponencial é contínua, tem-se
- Portanto
Passo 6
Comentário final sobre comportamento e rigor rápido:\n
- A sequência das somas parciais
é crescente (porque é decrescente) e limitada acima por , logo converge para seu supremo . Isso dá uma confirmação extra da convergência encontrada pelo cálculo do limite.