Calcule a soma das séries abaixo.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício pra calcular a soma de uma série infinita:
. Vamos usar conceitos de séries geométricas para resolver isso. Precisamos entender o que é uma série geométrica e como aplicar a fórmula da soma infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série geométrica é uma soma de termos onde cada termo é um múltiplo fixo do anterior. A fórmula para a soma infinita de uma série geométrica é:
Aqui,
é o primeiro termo da série e
é a razão comum entre os termos.
Passo 3
No nosso caso, o primeiro termo
é
.
A razão
também é
, já que cada termo é
vezes o termo anterior.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a série converge, ou seja, se a soma infinita existe. Para isso, a razão
deve satisfazer
.
Sabemos que
(com 1 em radianos) é aproximadamente 0,8415, que é menor que 1. Portanto, a série converge e podemos usar a fórmula da soma infinita.
Passo 5
Aplicando a f��rmula:
Vamos calcular isso substituindo
:
Resposta
A soma da série é aproximadamente
.