Calcule a superlargura necessária a uma curva, sendo dados os parâmetros: largura do veículo:
; distância entre eixos do veículo:
; balanço dianteiro do veículo:
; raio da curva:
; velocidade diretriz:
; faixas de tráfego de
; número de faixas: 2 .
b) Qual a superlargura necessária caso fossem quatro faixas, em vez de duas?
b) Qual a superlargura necessária caso fossem quatro faixas, em vez de duas?
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a superlargura necessária a uma curva usando os dados fornecidos. Vou listar claramente o que é dado e o que se pergunta, sem resolver nada ainda:
Dados do enunciado:
(largura do veículo)
(distância entre eixos)
(balanço dianteiro, distância do eixo dianteiro até a frente do veículo)
(raio da curva)
(velocidade diretriz; está dada, mas neste problema vamos supor que a superlargura depende geometricamente e o V apenas caracteriza a curva — explicarei se e como usá-la)
faixas de tráfego: cada (portanto
é a largura total para duas faixas)
número de faixas (caso a):
caso b) pede a mesma superlargura mas se fossem faixas (portanto largura total se cada faixa
seria
).
faixas de tráfego:
número de faixas (caso a):
caso b) pede a mesma superlargura mas se fossem
O que o problema efetivamente pede:
- Calcular a superlargura necessária da curva no caso com duas faixas (usando os dados acima).
- Calcular a superlargura necessária da curva no caso com quatro faixas.
Observação importante (assunção que vou usar, porque enunciado não explicita exatamente qual referência de raio é usada): vou considerar que o raio
refere-se ao raio da trajetória interna relevante (ou seja, é o raio de referência para o cálculo de off-tracking); a superlargura que precisamos calcular é a largura adicional necessária na pista para acomodar o “varrimento” lateral do veículo (sweep / off-tracking) quando ele negocia a curva. Vou explicar a fórmula e as aproximações usadas no passo seguinte.
Passo 2
O conceito físico/matemático que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas):
- Quando um veículo longo (com distância entre eixos
) faz uma curva circular, os pontos da frente do veículo descrevem uma trajetória diferente da trajetória do eixo traseiro. Essa diferença gera um “varrimento” lateral (off-tracking) da frente em relação à linha do eixo traseiro. Além disso, o balanço dianteiro (a parte da carroceria à frente do eixo dianteiro) também descreve um pequeno deslocamento lateral adicional. A superlargura é a largura extra que se deve prever na pista para acomodar esse deslocamento sem que a carroceria toque a berma ou invada perigosamente a faixa adjacente. - Geometricamente, se um arco de círculo tem comprimento aproximado igual a uma distância longitudinal do veículo, a deflexão lateral (sagitta) dessa pequena arco pode ser aproximada por termos em potências de
(ângulo central): para pequenos ângulos vale e . Usaremos aproximações em série de Taylor porque aqui será pequeno (veja cálculo adiante). - Para um veículo com wheelbase
que acompanha um arco de círculo de raio , o ângulo central correspondente ao comprimento é (porque arco ). A deflexão lateral associada a esse arco (sagitta aproximada) é da ordem de quando tratamos do efeito entre eixos (essa é uma aproximação clássica para pequenas curvaturas). Já o efeito do balanço dianteiro, projetado lateralmente quando o veículo gira, tem ordem aproximada (pois a parte dianteira fica deslocada proporcionalmente ao ângulo ). - Assim, uma aproximação prática (usada em projetos quando a curvatura é pequena, como aqui) para a superlargura necessária por veículo é dada somando dois termos principais: um termo devido ao wheelbase (ordem
) e um termo devido ao balanço dianteiro (ordem ou , dependendo da forma de projeção). Vou adotar a expressão que equilibra precisão e simplicidade nas aproximações (e é frequentemente utilizada em exercícios pedagógicos):
Explico a origem de cada parcela:
-
vem da fórmula da sagitta para um arco de comprimento (pequeno em relação a ) — é a deflexão lateral típica entre eixos. -
é uma aproximação do contribution do balanço dianteiro projetado lateralmente quando o veículo gira; é proporcional a e ao ângulo , e no ajuste clássico pedagógico aparece com fator . (Se quisermos maior precisão, poderíamos derivar exatamente com trigonometria exata, mas para curvas suaves essa expressão é suficiente e dá a ordem correta.)
Vou usar essa fórmula e mostrar as contas passo a passo.
Passo 3
Calcular os termos numéricos separadamente. Primeiro computo o valor de
.
Dados numéricos:
,
.
Calculemos
:
Agora
Calcule
. Portanto
Arredondando com sensatez, isso dá aproximadamente
(ou
).
Passo 4
Agora calculo o segundo termo
.
Dados:
,
,
.
Multiplico
.
Agora
Calcule
.
Arredondando, isso é cerca de
(ou
).
Passo 5
Somando os dois termos para obter a superlargura aproximada
:
Calculando a soma:
Arredondando de forma prática, podemos dizer que a superlargura necessária é aproximadamente
, ou seja cerca de
.
Interpretação prática: esse valor é a largura extra aproximada que a pista precisa permitir para o veículo negociar a curva sem invadir perigosamente a faixa adjacente. É um valor pequeno (alguns centímetros) porque o raio da curva é grande em relação ao comprimento do veículo; em curvas muito fechadas esse valor cresce e pode ser da ordem de décimos de metro ou mais.
Passo 6
Agora respondo à parte (b): “Qual a superlargura necessária caso fossem quatro faixas, em vez de duas?”
Explico a dependência com didática:
- A superlargura que calculamos é uma propriedade geométrica do veículo e do raio da trajetória que o veículo descreve. Se a curva considerada for a mesma e o raio de referência
para a linha de trajetória do veículo crítico não mudar, a superlargura por veículo não muda ao aumentar o número de faixas. O que muda quando se acrescentam faixas é a posição relativa de cada faixa (cada faixa terá um raio de curvatura diferente: a faixa mais externa tem raio maior, a mais interna tem raio menor). Geralmente o caso crítico (maior necessidade de superlargura) é calculado para a faixa com menor raio (faixa interna). No enunciado não foi indicado que o raio usado mudaria ao aumentar o número de faixas; portanto a suposição natural é que continua sendo o raio de interesse (faixa crítica). Sob essa suposição, o valor da superlargura por veículo continua o mesmo. - Se, por outro lado, o problema quisesse que eu considerasse faixas adicionais deslocando o raio efetivo do veículo (por exemplo, se a referência R fosse para a faixa central e ao adicionar faixas a trajetória crítica ficasse em outro raio), então deveria recomputar
com o novo . Mas o enunciado não dá essa indicação, então a escolha mais direta e adequada é manter e deduzir que permanece igual.
Portanto, para quatro faixas (mantendo
como raio de referência) a superlargura necessária continua sendo a mesma, isto é aproximadamente
.
Resposta
Para duas faixas:
.
Para quatro faixas: .
Para quatro faixas: