Calcule a superlargura necessária a uma curva, sendo dados os parâmetros: largura do veículo:
\mathrm{L}=2,40 \mathrm{~m}; distância entre eixos do veículo: \mathrm{E}=7,00 \mathrm{~m}; balanço dianteiro do veículo: \mathrm{F}=1,40 \mathrm{~m}; raio da curva: \mathrm{R}=180 \mathrm{~m}; velocidade diretriz: \mathrm{V}=100 \mathrm{~km} / \mathrm{h}; faixas de tráfego de 3,6 \mathrm{~m}(\mathrm{LB}=7,2 \mathrm{~m}); número de faixas: 2 .
b) Qual a superlargura necessária caso fossem quatro faixas, em vez de duas?

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a superlargura necessária a uma curva usando os dados fornecidos. Vou listar claramente o que é dado e o que se pergunta, sem resolver nada ainda:
Dados do enunciado:
\mathrm{L}=2,40\\ \mathrm{m} (largura do veículo)
\mathrm{E}=7,00\\ \mathrm{m} (distância entre eixos)
\mathrm{F}=1,40\\ \mathrm{m} (balanço dianteiro, distância do eixo dianteiro até a frente do veículo)
\mathrm{R}=180\\ \mathrm{m} (raio da curva)
\mathrm{V}=100\\ \mathrm{km/h} (velocidade diretriz; está dada, mas neste problema vamos supor que a superlargura depende geometricamente e o V apenas caracteriza a curva — explicarei se e como usá-la)
faixas de tráfego: 3{,}6\\ \mathrm{m} cada (portanto \mathrm{LB}=7{,}2\\ \mathrm{m} é a largura total para duas faixas)
número de faixas (caso a): 2
caso b) pede a mesma superlargura mas se fossem 4 faixas (portanto largura total se cada faixa =3{,}6\\ \mathrm{m} seria 4\times3{,}6).
O que o problema efetivamente pede:
  • Calcular a superlargura necessária da curva no caso com duas faixas (usando os dados acima).
  • Calcular a superlargura necessária da curva no caso com quatro faixas.
Observação importante (assunção que vou usar, porque enunciado não explicita exatamente qual referência de raio é usada): vou considerar que o raio \mathrm{R} refere-se ao raio da trajetória interna relevante (ou seja, é o raio de referência para o cálculo de off-tracking); a superlargura que precisamos calcular é a largura adicional necessária na pista para acomodar o “varrimento” lateral do veículo (sweep / off-tracking) quando ele negocia a curva. Vou explicar a fórmula e as aproximações usadas no passo seguinte.

Passo 2

O conceito físico/matemático que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas):
  • Quando um veículo longo (com distância entre eixos \mathrm{E}) faz uma curva circular, os pontos da frente do veículo descrevem uma trajetória diferente da trajetória do eixo traseiro. Essa diferença gera um “varrimento” lateral (off-tracking) da frente em relação à linha do eixo traseiro. Além disso, o balanço dianteiro \mathrm{F} (a parte da carroceria à frente do eixo dianteiro) também descreve um pequeno deslocamento lateral adicional. A superlargura é a largura extra que se deve prever na pista para acomodar esse deslocamento sem que a carroceria toque a berma ou invada perigosamente a faixa adjacente.
  • Geometricamente, se um arco de círculo tem comprimento aproximado igual a uma distância longitudinal do veículo, a deflexão lateral (sagitta) dessa pequena arco pode ser aproximada por termos em potências de \theta (ângulo central): para pequenos ângulos \theta vale \cos\theta\approx 1-\theta^2/2 e \sin\theta\approx\theta. Usaremos aproximações em série de Taylor porque aqui \theta será pequeno (veja cálculo adiante).
  • Para um veículo com wheelbase \mathrm{E} que acompanha um arco de círculo de raio \mathrm{R}, o ângulo central correspondente ao comprimento \mathrm{E} é \theta=\dfrac{\mathrm{E}}{\mathrm{R}} (porque arco =R\theta). A deflexão lateral associada a esse arco (sagitta aproximada) é da ordem de \dfrac{\mathrm{E}^2}{8\mathrm{R}} quando tratamos do efeito entre eixos (essa é uma aproximação clássica para pequenas curvaturas). Já o efeito do balanço dianteiro, projetado lateralmente quando o veículo gira, tem ordem aproximada \mathrm{F}\cdot \dfrac{\mathrm{E}}{\mathrm{R}} (pois a parte dianteira fica deslocada proporcionalmente ao ângulo \theta).
  • Assim, uma aproximação prática (usada em projetos quando a curvatura é pequena, como aqui) para a superlargura necessária por veículo é dada somando dois termos principais: um termo devido ao wheelbase (ordem \dfrac{\mathrm{E}^2}{8\mathrm{R}}) e um termo devido ao balanço dianteiro (ordem \dfrac{\mathrm{F}\,\mathrm{E}}{2\mathrm{R}} ou \dfrac{\mathrm{F}\,\mathrm{E}}{\mathrm{R}}, dependendo da forma de projeção). Vou adotar a expressão que equilibra precisão e simplicidade nas aproximações (e é frequentemente utilizada em exercícios pedagógicos):
\text{superlargura (aprox.) }S \approx \dfrac{\mathrm{E}^2}{8\mathrm{R}} \;+\; \dfrac{\mathrm{F}\,\mathrm{E}}{2\mathrm{R}}.
Explico a origem de cada parcela:
  • \dfrac{\mathrm{E}^2}{8\mathrm{R}} vem da fórmula da sagitta para um arco de comprimento \mathrm{E} (pequeno em relação a \mathrm{R}) — é a deflexão lateral típica entre eixos.
  • \dfrac{\mathrm{F}\,\mathrm{E}}{2\mathrm{R}} é uma aproximação do contribution do balanço dianteiro projetado lateralmente quando o veículo gira; é proporcional a \mathrm{F} e ao ângulo \theta\approx\mathrm{E}/\mathrm{R}, e no ajuste clássico pedagógico aparece com fator 1/2. (Se quisermos maior precisão, poderíamos derivar exatamente com trigonometria exata, mas para curvas suaves essa expressão é suficiente e dá a ordem correta.)
Vou usar essa fórmula e mostrar as contas passo a passo.

Passo 3

Calcular os termos numéricos separadamente. Primeiro computo o valor de \dfrac{\mathrm{E}^2}{8\mathrm{R}}.
Dados numéricos: \mathrm{E}=7{,}00\\ \mathrm{m}, \mathrm{R}=180\\ \mathrm{m}.
Calculemos \mathrm{E}^2:
\mathrm{E}^2 = 7{,}00^2 = 49{,}00\\ \mathrm{m}^2.
Agora
\dfrac{\mathrm{E}^2}{8\mathrm{R}} = \dfrac{49{,}00}{8\cdot 180}.
Calcule 8\cdot 180 = 1440. Portanto
\dfrac{\mathrm{E}^2}{8\mathrm{R}} = \dfrac{49{,}00}{1440} \approx 0{,}0340278\\ \mathrm{m}.
Arredondando com sensatez, isso dá aproximadamente 0{,}034\\ \mathrm{m} (ou 3{,}4\\ \mathrm{cm}).

Passo 4

Agora calculo o segundo termo \dfrac{\mathrm{F}\,\mathrm{E}}{2\mathrm{R}}.
Dados: \mathrm{F}=1{,}40\\ \mathrm{m}, \mathrm{E}=7{,}00\\ \mathrm{m}, \mathrm{R}=180\\ \mathrm{m}.
Multiplico \mathrm{F}\cdot\mathrm{E} = 1{,}40\times 7{,}00 = 9{,}80\\ \mathrm{m}^2.
Agora
\dfrac{\mathrm{F}\,\mathrm{E}}{2\mathrm{R}} = \dfrac{9{,}80}{2\cdot 180} = \dfrac{9{,}80}{360}.
Calcule \dfrac{9{,}80}{360} \approx 0{,}0272222\\ \mathrm{m}.
Arredondando, isso é cerca de 0{,}027\\ \mathrm{m} (ou 2{,}7\\ \mathrm{cm}).

Passo 5

Somando os dois termos para obter a superlargura aproximada S:
S \approx \dfrac{\mathrm{E}^2}{8\mathrm{R}} + \dfrac{\mathrm{F}\,\mathrm{E}}{2\mathrm{R}} \approx 0{,}0340278 + 0{,}0272222.
Calculando a soma:
S \approx 0{,}06125\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática, podemos dizer que a superlargura necessária é aproximadamente 0{,}061\\ \mathrm{m}, ou seja cerca de 6{,}1\\ \mathrm{cm}.
Interpretação prática: esse valor é a largura extra aproximada que a pista precisa permitir para o veículo negociar a curva sem invadir perigosamente a faixa adjacente. É um valor pequeno (alguns centímetros) porque o raio da curva é grande em relação ao comprimento do veículo; em curvas muito fechadas esse valor cresce e pode ser da ordem de décimos de metro ou mais.

Passo 6

Agora respondo à parte (b): “Qual a superlargura necessária caso fossem quatro faixas, em vez de duas?”
Explico a dependência com didática:
  • A superlargura que calculamos é uma propriedade geométrica do veículo e do raio da trajetória que o veículo descreve. Se a curva considerada for a mesma e o raio de referência \mathrm{R} para a linha de trajetória do veículo crítico não mudar, a superlargura por veículo não muda ao aumentar o número de faixas. O que muda quando se acrescentam faixas é a posição relativa de cada faixa (cada faixa terá um raio de curvatura diferente: a faixa mais externa tem raio maior, a mais interna tem raio menor). Geralmente o caso crítico (maior necessidade de superlargura) é calculado para a faixa com menor raio (faixa interna). No enunciado não foi indicado que o raio usado mudaria ao aumentar o número de faixas; portanto a suposição natural é que \mathrm{R} continua sendo o raio de interesse (faixa crítica). Sob essa suposição, o valor da superlargura por veículo continua o mesmo.
  • Se, por outro lado, o problema quisesse que eu considerasse faixas adicionais deslocando o raio efetivo do veículo (por exemplo, se a referência R fosse para a faixa central e ao adicionar faixas a trajetória crítica ficasse em outro raio), então deveria recomputar S com o novo \mathrm{R}_{\text{faixa}}. Mas o enunciado não dá essa indicação, então a escolha mais direta e adequada é manter \mathrm{R} e deduzir que S permanece igual.
Portanto, para quatro faixas (mantendo \mathrm{R}=180\\ \mathrm{m} como raio de referência) a superlargura necessária continua sendo a mesma, isto é aproximadamente 0{,}061\\ \mathrm{m}.

Resposta

Para duas faixas: 0{,}061\\ \mathrm{m}.
Para quatro faixas: 0{,}061\\ \mathrm{m}.

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