Calcule a temperatura
na qual existe uma probabilidade de
em que um elétron en um sólido tenha uma energia de
acima do nível de Fermi, que é de 5 eV . (2 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: “Calcule a temperatura em graus Celsius na qual existe uma probabilidade de
de que um elétron tenha energia
acima do nível de Fermi (que vale
).”
Dados relevantes fornecidos:
- Energia do nível de Fermi:
(valor do nível de referência; neste problema só importa a diferença de energia). - Energia do estado considerado:
. Portanto a diferença em relação ao Fermi é . - Probabilidade desejada de ocupação do estado:
. - Pedem a temperatura correspondente em graus Celsius.
Observação óbvia a registrar (sem resolver ainda): o valor absoluto de
não entra nos cálculos exceto para obter
; a grandeza importante é
.
Passo 2
Conceito físico necessário (explicado passo a passo, sem pular etapas):
- Em sólidos fermiónicos (elétrons) a ocupação de um estado de energia
à temperatura é dada pela distribuição de Fermi–Dirac. - A fórmula da distribuição de Fermi–Dirac é
onde:
-
é a probabilidade de ocupação do estado de energia ; -
é o potencial químico (que, a baixas e moderadas temperaturas, é muito próximo do nível de Fermi ); -
é a constante de Boltzmann (quando medimos energia em , usamos em ); -
é a temperatura absoluta em kelvin ( ). - No enunciado a energia pedida está
acima de , então . - Vamos usar a aproximação
, válida aqui. Assim podemos aplicar a fórmula com .
Passo 3
Isolando a temperatura a partir da fórmula de Fermi–Dirac:
- Partimos de
com
e
.
- Invertendo para obter o exponencial:
- Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
- Finalmente isolamos
:
Passo 4
Valores numéricos e constante:
- Usamos a constante de Boltzmann em unidades de
:
(É permitido arredondar um pouco; este valor é padrão.)
- Substituímos
e . - Calculamos o argumento do logaritmo:
- Então
Passo 5
Cálculo de
em kelvin passo a passo:
- Denominador
:
- Agora
:
- Ou seja
.
Passo 6
Converter de kelvin para graus Celsius e comentar suposições:
- A relação é
. - Assim
- Arredondando de forma prática para a apresentação:
. - Observação de entendimento: o valor absoluto do nível de Fermi
não entrou na conta além de definir a diferença . Também assumimos , o que é adequado para este tipo de estimativa.