Calcule a temperatura \mathbf{e m}{ }^{\circ} \mathbf{C} na qual existe uma probabilidade de 1 \% em que um elétron en um sólido tenha uma energia de 0,5 \mathrm{eV} acima do nível de Fermi, que é de 5 eV . (2 pontos)

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule a temperatura em graus Celsius na qual existe uma probabilidade de 1\% de que um elétron tenha energia 0,5\\ \mathrm{eV} acima do nível de Fermi (que vale 5\\ \mathrm{eV}).”
Dados relevantes fornecidos:
  • Energia do nível de Fermi: \;5\\ \mathrm{eV} (valor do nível de referência; neste problema só importa a diferença de energia).
  • Energia do estado considerado: \;E = E_F + 0,5\\ \mathrm{eV}. Portanto a diferença em relação ao Fermi é \;\Delta E = E - E_F = 0,5\\ \mathrm{eV}.
  • Probabilidade desejada de ocupação do estado: \;f = 1\% = 0,01.
  • Pedem a temperatura correspondente em graus Celsius.
Observação óbvia a registrar (sem resolver ainda): o valor absoluto de E_F=5\\ \mathrm{eV} não entra nos cálculos exceto para obter \Delta E; a grandeza importante é \Delta E=0,5\\ \mathrm{eV}.

Passo 2

Conceito físico necessário (explicado passo a passo, sem pular etapas):
  • Em sólidos fermiónicos (elétrons) a ocupação de um estado de energia E à temperatura T é dada pela distribuição de Fermi–Dirac.
  • A fórmula da distribuição de Fermi–Dirac é
f(E) = \frac{1}{\exp\!\big(\dfrac{E-\mu}{k_B T}\big) + 1},
onde:
  • \;f(E) é a probabilidade de ocupação do estado de energia \;E;
  • \;\mu é o potencial químico (que, a baixas e moderadas temperaturas, é muito próximo do nível de Fermi E_F);
  • \;k_B é a constante de Boltzmann (quando medimos energia em \mathrm{eV}, usamos k_B em \mathrm{eV/K});
  • \;T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
  • No enunciado a energia pedida está \;0,5\\ \mathrm{eV} acima de E_F, então \;E-\mu \approx \Delta E = 0,5\\ \mathrm{eV}.
  • Vamos usar a aproximação \mu\approx E_F, válida aqui. Assim podemos aplicar a fórmula com \Delta E.

Passo 3

Isolando a temperatura a partir da fórmula de Fermi–Dirac:
  • Partimos de
f = \frac{1}{\exp\!\big(\dfrac{\Delta E}{k_B T}\big) + 1},
com \;f=0,01 e \;\Delta E = 0,5\\ \mathrm{eV}.
  • Invertendo para obter o exponencial:
\exp\!\big(\dfrac{\Delta E}{k_B T}\big) = \frac{1-f}{f}.
  • Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
\frac{\Delta E}{k_B T} = \ln\!\bigg(\frac{1-f}{f}\bigg).
  • Finalmente isolamos T:
T = \frac{\Delta E}{k_B \,\ln\!\big(\dfrac{1-f}{f}\big)}.

Passo 4

Valores numéricos e constante:
  • Usamos a constante de Boltzmann em unidades de \mathrm{eV/K}:
k_B \approx 8{,}617\times 10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
(É permitido arredondar um pouco; este valor é padrão.)
  • Substituímos \Delta E = 0{,}5\\ \mathrm{eV} e f=0{,}01.
  • Calculamos o argumento do logaritmo:
\frac{1-f}{f} = \frac{1-0{,}01}{0{,}01}=\frac{0{,}99}{0{,}01}=99.
  • Então
\ln\!\bigg(\frac{1-f}{f}\bigg)=\ln(99)\approx 4{,}59512.

Passo 5

Cálculo de T em kelvin passo a passo:
  • Denominador k_B\ln\!\big(\frac{1-f}{f}\big):
k_B\ln(99) \approx \big(8{,}617\times10^{-5}\big)\times 4{,}59512 \approx 3{,}9598\times 10^{-4}\\ \mathrm{eV/K}.
  • Agora T:
T = \frac{0{,}5\\ \mathrm{eV}}{3{,}9598\times 10^{-4}\\ \mathrm{eV/K}} \approx 1{,}2629\times 10^{3}\\ \mathrm{K}.
  • Ou seja \;T\approx 1263\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Converter de kelvin para graus Celsius e comentar suposições:
  • A relação é \;T_{\text{\text{(C)}}} = T_{\text{(K)}} - 273{,}15.
  • Assim
T_{\text{\text{(C)}}} \approx 1262{,}9 - 273{,}15 \approx 989{,}8\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Arredondando de forma prática para a apresentação: \;990^\circ\mathrm{C}.
  • Observação de entendimento: o valor absoluto do nível de Fermi \;5\\ \mathrm{eV} não entrou na conta além de definir a diferença \Delta E. Também assumimos \mu\approx E_F, o que é adequado para este tipo de estimativa.

Resposta

990^\circ\mathrm{C}

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