Calcule a temperatura da superfície isolada em t= 6 min, 1 e 2 h numa placa de espessura L=10 cm, e difusividade térmica alpha=10^-7 m^2 / s. T0 é obtido sorteando um valor entre 200 e 250.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma placa com espessura cm e difusividade térmica . Queremos calcular a temperatura da superfície isolada dessa placa nos tempos de minutos, 1 hora e 2 horas. A temperatura inicial é um valor sorteado entre 200 e 250°C. Para resolver isso, vamos usar o conceito de condução de calor em regime transitório, ou seja, como o calor se propaga na placa ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a difusividade térmica alpha = krho cp . Ela nos indica a rapidez com que o calor se espalha pelo material. A fórmula para difusividade térmica é:
Onde:
  • é a condutividade térmica,
  • é a densidade,
  • é a capacidade calorífica.
No entanto, como já temos o valor de , não precisamos calcular , ou diretamente.

Passo 3

Como a superfície é isolada, significa que não há fluxo de calor saindo dessa superfície. Vamos usar a solução da equação de difusão de calor para uma placa com uma superfície isolada e temperatura inicial T(x=0, t) = T0 cdot erf ( x2raizalpha t ) . A solução para a temperatura na superfície isolada ao longo do tempo é dada por:
T(t) = T0 cdot erf ( L2raizalpha t )
Como o ponto está na superfície isolada, e considerando que não há variação de temperatura na direção perpendicular à superfície, simplificamos a equação para:
Onde é a função erro, é a espessura da placa e é o tempo.

Passo 4

Vamos agora calcular o valor de L2raizalpha t = 0,102 raiz10^-7 cdot t = 0,102 times 10^-3.5 raizt para cada tempo dado. Primeiro, converteremos todos os tempos para segundos:
  • minutos segundos
  • hora segundos
  • horas segundos
Agora, substituindo m e :

Passo 5

Vamos calcular 0,102 raiz10^-7 times 360 = 0,102 raiz3,6 times 10^-5 = 0,102 times 0,006 approx 0,100,012 approx 8,33 para cada tempo:
  1. Para 0,102 raiz10^-7 times 3600 = 0,102 raiz3,6 times 10^-4 = 0,102 times 0,019 approx 0,100,038 approx 2,63 s:
0,102 raiz10^-7 times 7200 = 0,102 raiz7,2 times 10^-4 = 0,102 times 0,027 approx 0,100,054 approx 1,85
  1. Para s:
  1. Para s:

Passo 6

Agora, usamos esses valores na função erro ( T(t) = T0 cdot erf(a) ) para encontrar a temperatura :
Onde .
Vamos calcular , e .
Sabemos que:
  • (pois para valores grandes, a função erro se aproxima de 1)

Passo 7

Finalmente, substituímos os valores de T(360) approx T0 times 1 = T0 na equação da temperatura:
  1. Para T(3600) approx T0 times 0,999 approx T0 minutos:
T(7200) approx T0 times 0,983 approx 0,983 , T0
  1. Para hora:
  1. Para horas:

Resposta

A temperatura da superfície isolada da placa é aproximadamente igual a para minutos e 1 hora, e cerca de 98,3% de para horas.

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