Calcule a tensão minima que deve ser aplicada a um tubo de raios X de W para produzir a transição caracteristica K menos energética do alvo.
Dados
\begin{aligned} & \lambda_{\max }(A)=\frac{12,4}{V(K V)} \quad E=\frac{h c}{\lambda} \\\ & \mathrm{c}=2,99 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\\ & \mathrm{~h}=6,62306896 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s} \\\ & 1 \mathrm{eV}=1,602564 \times 10^{-29} \mathrm{~J} \\\ & 1 \mathrm{~A}=1 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dados.
  • Pedido: calcular a tensão mínima que deve ser aplicada a um tubo de raios X com alvo de tungstênio (W) para produzir a transição característica K menos energética do alvo.
  • Informações fornecidas no enunciado:
    • \lambda_{\max}(\text{Å})=\dfrac{12,4}{V(\text{kV})}Å. Essa relação dá o comprimento de onda (em ångström) correspondente à energia máxima (cutoff) produzida por uma tensão V em kV.
    • E=\dfrac{hc}{\lambda}.
    • Constantes: c=2{,}99\times10^{8}\\ \text{m/s}, h=6{,}62306896\times10^{-34}\\ \text{J s}.
    • Conversões dadas: 1\\ \text{Å}=1\times10^{-10}\\ \text{m}Å e 1\\ \text{eV}=1{,}602564\times10^{-29}\\ \text{J} (estes valores constam do enunciado).
  • Informação necessária que não estava explicitada no enunciado, mas que é padrão/tabelada e que se usa para este tipo de problema: a transição característica K menos energética é a linha \text{K}\alpha e seu comprimento de onda para tungstênio é conhecido em tabelas espectrais. Vou usar o valor tabelado
    • \lambda_{\text{K}\alpha}(\text{W}) = 0{,}209\\ \text{Å}Å.
      (Obs.: este valor é um dado experimental padrão para o tungstênio e é necessário para calcular a tensão que produz essa linha.)

Passo 2

Entendendo fisicamente o que significa "tensão mínima para produzir a linha \text{K}\alpha".
  • Quando um elétron incidente remove um elétron da camada K, um elétron de camada superior cai para preencher a vacância e emite um fóton com energia igual à diferença entre os níveis. Esse fóton é a linha característica \text{K}\alpha.
  • Para que ocorra a ionização da camada K por impacto de elétrons, a energia cinética do elétron acelerado pelo campo elétrico deve ser, no mínimo, da ordem da energia necessária para remover o elétron da camada K. Uma forma prática de estimar a tensão mínima é exigir que a energia do elétron acelerado eV_{\min} seja ao menos igual à energia do fóton característico emitido E_{\text{K}\alpha}. Assim, podemos usar a relação eV_{\min}=E_{\text{K}\alpha}=\frac{hc}{\lambda_{\text{K}\alpha}}.
  • Existe também a forma prática (muito usada em raios X) para relacionar comprimento de onda em ångström e tensão em quilovolts: \lambda(\text{Å})=\frac{12{,}4}{V(\text{kV})}.ÅEssa fórmula vem da relação E=\dfrac{hc}{\lambda} e da conversão de unidades, e permite encontrar diretamente V em kV conhecendo \lambda em Å.

Passo 3

Aplicando a fórmula prática para achar a tensão em kV a partir do comprimento de onda tabelado.
  • Usando \lambda(\text{Å})=\frac{12{,}4}{V(\text{kV})},Åe isolando V(\text{kV}), V(\text{kV})=\frac{12{,}4}{\lambda(\text{Å})}.Å
  • Substituindo o comprimento de onda da linha \text{K}\alpha do tungstênio, \lambda_{\text{K}\alpha}=0{,}209\\ \text{Å}Å, V(\text{kV})=\frac{12{,}4}{0{,}209}.

Passo 4

Cálculo numérico do quociente.
  • Fazer a divisão: V(\text{kV})=\frac{12{,}4}{0{,}209}=\frac{12{,}4\cdot1000}{0{,}209\cdot1000}=\frac{12400}{209}\approx59{,}33.
  • Arredondando de forma prática para duas casas significativas relevantes, V(\text{kV})\approx59{,}3\\ \text{kV}.

Passo 5

Converter para volts e comentar brevemente.
  • Em volts: V_{\min}=59{,}3\\ \text{kV}=5{,}93\times10^{4}\\ \text{V}.
  • Comentário prático (rápido e encorajador): portanto, para produzir a linha característica \text{K}\alpha do tungstênio é necessário aplicar uma tensão da ordem de dezenas de quilovolts — cerca de 59\\ \text{kV}. Isso combina com tabelas e prática experimental: tubos de RX com alvo de W usam tensões típicas dessa ordem para excitar as linhas K.

Resposta

\;V_{\min}\approx59{,}3\\ \text{kV}

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