Calcule o trabalho e o calor realizado por um mol de gás ideal que realiza um ciclo reversível A B C A, sabendo que:
  • O processo AB é isotérmico, com \mathrm{T}_{\mathrm{A}}=350 \mathrm{~K} e \mathrm{P}_{\mathrm{A}}=2 atm.
  • O processo BC é isobárico, com \mathrm{P}_{\mathrm{B}}=1 atm.
  • O processo CA é adiabático reversível, \operatorname{com} \gamma=1,4
Determine também a variação de energia interna ( \Delta U), a variação de entalpia (\Delta \mathrm{H}) e a variação de entropia (\Delta \mathrm{S}) desse gás.

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo reversível A\to B\to C\to A para um mol de gás ideal, com:
AB isotérmico em T_{A}=T_{B}=350,K e P_{A}=2,atm, P_{B}=1,atm.
BC isobárico em P_{B}=P_{C}=1,atm.
CA adiabático reversível com razão de calores específicos \gamma=1{,}4.
Vamos usar as leis dos gases ideais, a primeira lei da termodinâmica e as fórmulas de trabalho e calor para cada trecho.

Passo 2

Determinar volumes em A e B via P\,V=nR\,T. Convertendo 1 atm = 1{,}013\times10^5,Pa e n=1,mol:
V_{A}=\frac{nR\,T_{A}}{P_{A}} =\frac{1\cdot 8{,}314\cdot350}{2\cdot1{,}013\times10^5} \approx1{,}436\times10^{-2}\,\mathrm{m^3},
V_{B}=\frac{nR\,T_{B}}{P_{B}} =\frac{1\cdot 8{,}314\cdot350}{1\cdot1{,}013\times10^5} \approx2{,}873\times10^{-2}\,\mathrm{m^3}.

Passo 3

No trecho AB (isotérmico),
W_{AB} =\int_{V_{A}}^{V_{B}}P\,dV =nR\,T_{A}\ln\frac{V_{B}}{V_{A}} =nR\,T_{A}\ln\frac{P_{A}}{P_{B}},
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W_{AB} =1\cdot8{,}314\cdot350\ln2 \approx2{,}016\:\mathrm{kJ}.
Para processo isotérmico de gás ideal vale \Delta U_{AB}=0, então
Q_{AB}=W_{AB}\approx2{,}016\:\mathrm{kJ}.

Passo 4

Para achar o estado C usamos o adiabático CA reversível:
P_{A}V_{A}^{\gamma}=P_{C}V_{C}^{\gamma} \quad\Longrightarrow\quad V_{C} =V_{A}\Bigl(\frac{P_{A}}{P_{C}}\Bigr)^{1/\gamma} =1{,}436\times10^{-2}\times2^{1/1{,}4} \approx2{,}355\times10^{-2}\,\mathrm{m^3}.
Em C temos T_{C}=P_{C}V_{C}/(nR)\approx287{,}4,K.

Passo 5

No trecho BC (isobárico a P=1,atm):
W_{BC} =P\,(V_{C}-V_{B}) =1{,}013\times10^{5}\bigl(2{,}355-2{,}873\bigr)\times10^{-2} \approx-0{,}523\:\mathrm{kJ}.
Como \Delta U_{BC}=nC_{v}(T_{C}-T_{B}) e \gamma=1{,}4\Rightarrow C_{v}=R/(\gamma-1)=2{,}5R:
\Delta U_{BC} =2{,}5\cdot8{,}314\,(287{,}4-350) \approx-1{,}302\:\mathrm{J},
Q_{BC} =\Delta U_{BC}+W_{BC} \approx-1{,}302-523=-1{,}825\:\mathrm{kJ}.

Passo 6

No trecho CA (adiabático reversível) vale
Q_{CA}=0,
e
\Delta U_{CA} =nC_{v}(T_{A}-T_{C}) =2{,}5\cdot8{,}314\,(350-287{,}4) \approx+1{,}302\:\mathrm{J}.
O trabalho W_{CA} obedece \Delta U=Q-W, com Q=0, portanto
W_{CA}=-\Delta U_{CA}\approx-1{,}302\:\mathrm{J}.

Passo 7

Somando ao longo do ciclo:
W_{\mathrm{ciclo}} =W_{AB}+W_{BC}+W_{CA} \approx2{,}016-0{,}523-1{,}302 \approx0{,}191\:\mathrm{kJ},
Q_{\mathrm{ciclo}} =Q_{AB}+Q_{BC}+Q_{CA} \approx2{,}016-1{,}825+0 \approx0{,}191\:\mathrm{kJ}.
E como é um ciclo reversível de gás ideal,
\Delta U_{\mathrm{ciclo}}=0, \quad \Delta H_{\mathrm{ciclo}}=0, \quad \Delta S_{\mathrm{ciclo}}=0.

Resposta

Trabalho líquido por ciclo (realizado pelo gás):
W_{\mathrm{ciclo}}\approx0{,}19\:\mathrm{kJ}.
Calor líquido absorvido pelo gás:
Q_{\mathrm{ciclo}}\approx0{,}19\:\mathrm{kJ}.
Variações no ciclo:
\Delta U=0,\quad \Delta H=0,\quad \Delta S=0.

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