Um gás ideal monoatômico está sendo comprimido isotermicamente. A pressão inicial é de 200 kPa e o volume é de 0,5 \mathrm{~m}^{3}. Durante o processo, o volume do gás diminui para 0,25 \mathrm{~m}^{3}.
(a) Determine a quantidade de calor necessária para realizar esse processo isotérmico.
(b) Determine o trabalho realizado no processo.
(c) O que ocorre com a energia interna do gás durante o processo?

Passo 1

O enunciado descreve um gás ideal monoatômico sendo comprimido isotermicamente de P_1=200\\ \mathrm{kPa} e V_1=0{,}5\\ \mathrm{m}^3 até V_2=0{,}25\\ \mathrm{m}^3. Como o processo é isotérmico, a temperatura T é constante e, para um gás ideal, a energia interna U depende só de T. Vamos usar:
  1. Trabalho em processo isotérmico:
W = \int_{V_1}^{V_2} P\,dV = nRT\ln\!\Bigl(\frac{V_2}{V_1}\Bigr),
  1. Equação do gás ideal em P_1V_1=nRT,
  2. Primeira lei da termodinâmica:
\Delta U = Q - W.

Passo 2

Calcular o trabalho realizado pelo gás:
Como nRT = P_1V_1,
W = P_1V_1\ln\!\Bigl(\frac{V_2}{V_1}\Bigr).
Substituindo P_1=200\\ \mathrm{kPa}=200\times10^3\\ \mathrm{Pa} e V_1=0{,}5\\ \mathrm{m}^3:
P_1V_1 = 200\times10^3\cdot0{,}5 = 100\times10^3\\ \mathrm{J} = 100\\ \mathrm{kJ}.
E \dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{0{,}25}{0{,}5}=0{,}5, logo \ln(0{,}5)\approx -0{,}693.
W = 100\\ \mathrm{kJ}\times(-0{,}693) = -69{,}3\\ \mathrm{kJ}.

Passo 3

Determinar o calor trocado Q usando a primeira lei:
\Delta U = 0 \quad\Rightarrow\quad Q = \Delta U + W = 0 + W = -69{,}3\\ \mathrm{kJ}.
Isto significa que 69{,}3\\ \mathrm{kJ} de calor são removidos do gás para manter a temperatura constante.

Passo 4

Durante um processo isotérmico de gás ideal, como a temperatura não varia, a energia interna \,U permanece constante. Portanto,
\Delta U = 0.

Resposta

(a) Q = -69{,}3\\ \mathrm{kJ} (calor removido do gás).
(b) W = -69{,}3\\ \mathrm{kJ} (trabalho realizado pelo gás; trabalho sobre o gás é +69{,}3\\ \mathrm{kJ}).
(c) A energia interna não varia, ou seja, \Delta U = 0.

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