Calcule o trabalho da força \vec{F} quando ele atua sobre um corpo de massa m durante o deslocamento \vec{d} para os seguintes casos:
a) \vec{F}=k \sin \theta \hat{x}+c z \hat{y}-k \cos \theta \hat{z}, e \vec{d}=k \cos \varphi \hat{x}+k \sin \varphi \hat{z}, onde k^{2}=4 N m e \theta-\varphi=\pi / 3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho da força \vec{F} ao longo do deslocamento \vec{d} para o caso dado. Dados fornecidos:
\vec{F}=k \sin\theta\,\hat{x}+c z\,\hat{y}-k \cos\theta\,\hat{z},
\vec{d}=k \cos\varphi\,\hat{x}+k \sin\varphi\,\hat{z},
k^{2}=4\\ \text{N}\,\text{m},
\theta-\varphi=\pi/3.
As perguntas implícitas: calcular o trabalho escalar W realizado por \vec{F} durante o deslocamento \vec{d} e apresentar o resultado numérico com unidades.

Passo 2

Conceito essencial (explicado devagar): o trabalho realizado por uma força constante durante um deslocamento é o produto escalar entre a força e o deslocamento. O produto escalar (ou dot product) entre dois vetores \vec{A}=A_x\hat{x}+A_y\hat{y}+A_z\hat{z} e \vec{B}=B_x\hat{x}+B_y\hat{y}+B_z\hat{z} é
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z.
Aqui cada A_i e B_i é a componente na direção \hat{x},\hat{y},\hat{z}. O resultado é um escalar. Então vamos identificar as componentes de \vec{F} e \vec{d}.

Passo 3

Componentes extraídas dos vetores dados:
F_x = k\sin\theta,\qquad F_y = c z,\qquad F_z = -k\cos\theta,
d_x = k\cos\varphi,\qquad d_y = 0,\qquad d_z = k\sin\varphi.
Observação importante: peguei as componentes diretamente das expressões de \vec{F} e \vec{d} dadas no enunciado. Note que d_y=0, portanto o termo com F_y não contribuirá para o produto escalar.

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto escalar:
W=\vec{F}\cdot\vec{d}=F_x d_x + F_y d_y + F_z d_z.
Substituindo as componentes:
W=(k\sin\theta)(k\cos\varphi)+(c z)(0)+(-k\cos\theta)(k\sin\varphi).
O termo com cz desaparece porque d_y=0. Assim:
W=k^2\big(\sin\theta\cos\varphi-\cos\theta\sin\varphi\big).

Passo 5

Agora usamos uma identidade trigonométrica útil (explicando como funciona): para quaisquer ângulos \alpha,\beta,
\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha-\beta).
Aplicando com \alpha=\theta e \beta=\varphi, obtemos
W=k^2\sin(\theta-\varphi).

Passo 6

Substituímos o valor de \theta-\varphi dado no enunciado e o valor numérico de k^2. Como \theta-\varphi=\pi/3 e \sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2, e foi dado que k^{2}=4\\ \text{N}\,\text{m}, temos:
W=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\\ \text{N}\,\text{m}.
Unidade: 1\\ \text{N}\,\text{m}=1\\ \text{J}, logo o trabalho em joules é 2\sqrt{3}\\ \text{J}. Boa! Conseguimos simplificar usando identidade trigonométrica e observar que a componente em y não contribui.

Resposta

2\sqrt{3}\\ \text{J}