1. Calcule o trabalho realizado por \mathbf{F}(x, y)=\left(x+x^{2}\right) \mathbf{i}+y \mathbf{j} ao longo da fronteira de R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, y \geq 0\right\} orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força \mathbf{F}(x,y)=(x+x^2)\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j} ao longo da fronteira de
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le1,\;y\ge0\},
orientada positivamente (anti-horário). Esse é um caso clássico para usar o Teorema de Green, pois \partial R é uma curva simples e fechada, e \mathbf{F} tem derivadas contínuas em um domínio que contém R.

Passo 2

Seja P(x,y)=x+x^2 e Q(x,y)=y. O Teorema de Green afirma que
\oint_{\partial R}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calculamos as derivadas:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y)=0, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+x^2)=0.

Passo 3

Como \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=0 em todo R, o integral de área é nulo, logo
\oint_{\partial R}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{R}0\,dA =0.

Resposta

0

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