Calcule a transformada inversa de Laplace de:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
Informações dadas e o que se pede:
- Temos
expressa como uma função racional de . - O objetivo é encontrar
, a função no domínio do tempo (variável ), assumindo a convenção usual de Laplace para . - Dados relevantes para usar: o denominador fatorou-se em fatores lineares distintos
, e .
Passo 2
Como vamos resolver (aula rápida necessária):
- Ideia geral: para inverter Laplace de uma função racional cujo denominador tem fatores lineares distintos, usamos decomposição em frações parciais. Cada termo simples tem uma inversa conhecida.
- Propriedade linear da transformada de Laplace: se
e , então . Portanto a inversa também é linear: . - Formulário básico que vamos usar:
- Portanto, se conseguirmos escrever
como soma de constantes sobre esses termos, é só aplicar as inversas termporais e somar.
Passo 3
Configurar a decomposição em frações parciais:
Procuramos constantes tais que
Procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Explicação: igualando numeradores após cancelar o denominador comum, temos uma igualdade válida para todo
. Para determinar
podemos expandir e igualar coeficientes ou usar valores convenientes de
que anulem termos — o segundo é mais rápido quando há fatores lineares distintos.
Passo 4
Encontrar
usando
(pois
zera os termos com
):
- Substituindo
na identidade temos - Logo
. - Portanto
Passo 5
Encontrar
usando
(anula os termos com
):
- Substituindo
: - Escrevendo os valores:
. - Portanto
Passo 6
Encontrar
usando
(anula os termos com
):
- Substituindo
: - Escrevendo os valores:
. - Portanto
Passo 7
Reescrevendo
com os coeficientes encontrados:
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando linearidade e as fórmulas básicas:
-
. -
. -
.
(Usei a propriedade
com
respectivamente.)