Calcule a transformada inversa de Laplace de:
F(s)=\frac{s+3}{s(s+1)(s+2)}\

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{s+3}{s(s+1)(s+2)}.
Informações dadas e o que se pede:
  • Temos F(s) expressa como uma função racional de s.
  • O objetivo é encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, a função no domínio do tempo (variável t), assumindo a convenção usual de Laplace para t\ge 0.
  • Dados relevantes para usar: o denominador fatorou-se em fatores lineares distintos s, s+1 e s+2.

Passo 2

Como vamos resolver (aula rápida necessária):
  • Ideia geral: para inverter Laplace de uma função racional cujo denominador tem fatores lineares distintos, usamos decomposição em frações parciais. Cada termo simples tem uma inversa conhecida.
  • Propriedade linear da transformada de Laplace: se \mathcal{L}\{f\}=F e \mathcal{L}\{g\}=G, então \mathcal{L}\{\alpha f+\beta g\}=\alpha F+\beta G. Portanto a inversa também é linear: \mathcal{L}^{-1}\{\alpha F+\beta G\}=\alpha f+\beta g.
  • Formulário básico que vamos usar: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1 \quad\text{(função degrau unitário)}çãá
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t},\quad a\in\mathbb{R}.
  • Portanto, se conseguirmos escrever F(s) como soma de constantes sobre esses termos, é só aplicar as inversas termporais e somar.

Passo 3

Configurar a decomposição em frações parciais:
Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{s+3}{s(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por s(s+1)(s+2) obtemos a identidade polinomial
s+3 = A(s+1)(s+2) + B\,s(s+2) + C\,s(s+1).
Explicação: igualando numeradores após cancelar o denominador comum, temos uma igualdade válida para todo s. Para determinar A,B,C podemos expandir e igualar coeficientes ou usar valores convenientes de s que anulem termos — o segundo é mais rápido quando há fatores lineares distintos.

Passo 4

Encontrar A usando s=0 (pois s=0 zera os termos com s):
  • Substituindo s=0 na identidade s+3 = A(s+1)(s+2) + B s(s+2) + C s(s+1) temos 0+3 = A(0+1)(0+2) + 0 + 0.
  • Logo 3 = A\cdot 1 \cdot 2 = 2A.
  • Portanto A=\frac{3}{2}.

Passo 5

Encontrar B usando s=-1 (anula os termos com s+1):
  • Substituindo s=-1: -1+3 = A\cdot 0 \cdot 1 + B\cdot(-1)\cdot(1) + C\cdot(-1)\cdot 0.
  • Escrevendo os valores: 2 = -B.
  • Portanto B=-2.

Passo 6

Encontrar C usando s=-2 (anula os termos com s+2):
  • Substituindo s=-2: -2+3 = A\cdot(-1)\cdot 0 + B\cdot(-2)\cdot 0 + C\cdot(-2)\cdot(-1).
  • Escrevendo os valores: 1 = 2C.
  • Portanto C=\frac{1}{2}.

Passo 7

Reescrevendo F(s) com os coeficientes encontrados:
F(s)=\frac{3/2}{s} - \frac{2}{s+1} + \frac{1/2}{s+2}.
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando linearidade e as fórmulas básicas:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{3/2}{s}\right\}=\dfrac{3}{2}\cdot 1.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\dfrac{2}{s+1}\right\}=-2\,e^{-t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1/2}{s+2}\right\}=\dfrac{1}{2}\,e^{-2t}.
(Usei a propriedade \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-a t} com a=0,1,2 respectivamente.)

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{3}{2}-2e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t},\quad t\ge 0.

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