Uma empresa estuda a troca de uma máquina velha por uma nova. Com as seguintes informações, determinar se a máquina deve ou năo ser substituida (2,5 pontos).
máquina velha (\mathrm{V}) máquina nova (\mathrm{N})
Investimento inicial - \ 25.000$ \ \hline Custo operacional & \ 12.000 / \mathrm{ano} &$8.000 / \mathrm{ano}$
Vida util 2 anos 6 anos
custo do capital 6 \% a.a 6 \% a.a.

Passo 1

O enunciado pede decidir se a empresa deve substituir a máquina velha pela nova, usando as informações da tabela. Dados relevantes (vou listar exatamente os números que o enunciado deu):
\begin{aligned} \text{Máquina velha (V):}&\quad \text{Investimento inicial }=0\quad(\text{sendo equipamento já existente}),\\\ &\quad \text{Custo operacional }=\$12.000/\text{ano},\\\ &\quad \text{Vida útil restante }=2\\ \text{anos},\\\ &\quad \text{Custo de capital }=6\%/\text{ano}. \end{aligned}ááú
\begin{aligned} \text{Máquina nova (N):}&\quad \text{Investimento inicial }=\$25.000,\\\ &\quad \text{Custo operacional }=\$8.000/\text{ano},\\\ &\quad \text{Vida útil }=6\\ \text{anos},\\\ &\quad \text{Custo de capital }=6\%/\text{ano}. \end{aligned}áú
Pergunta direta: substituir a máquina velha pela nova agora ou não?

Passo 2

Qual método vamos usar? Aqui o objetivo prático é comparar custos anuais equivalentes (EAC — Equivalent Annual Cost) porque as duas opções têm vidas diferentes e queremos saber qual gera menor custo por ano em média. Explico a ideia: transformar todos os custos (investimento inicial e custos operacionais) em um valor anual equivalente que represente o custo médio por ano da alternativa. A alternativa com menor EAC é a mais econômica. Isso é prático para decidir na hora da prova sem complicar com ciclos de reposição.

Passo 3

Fórmula que vamos usar para transformar um investimento inicial P em um custo anual equivalente (recuperação de capital):
\text{CR}(P,i,n)=P\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}},
onde:
  • P é o valor presente do investimento (no nosso caso P=\$25.000 para a máquina nova),
  • i é a taxa de juros por período (aqui i=0{,}06),
  • n é o número de períodos (anos) da vida útil (aqui n=6 para a nova).
A fração \dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}} é chamada de fator de recuperação de capital (CRF). Ela converte um valor presente em uma série uniforme anual equivalente.

Passo 4

Calcular o fator (1+i)^n para i=0{,}06 e n=6. Vou calcular passo a passo (arredondando um pouco as casas quando necessário):
(1{,}06)^2=1{,}1236,
(1{,}06)^3=1{,}1236\times1{,}06=1{,}191016,
(1{,}06)^4=1{,}191016\times1{,}06\approx1{,}26247696,
(1{,}06)^5\approx1{,}26247696\times1{,}06\approx1{,}3382255776,
(1{,}06)^6\approx1{,}3382255776\times1{,}06\approx1{,}4185191123.
Portanto (1+i)^{6}\approx1{,}4185191123 e assim (1+i)^{-6}\approx\dfrac{1}{1{,}4185191123}\approx0{,}70496.

Passo 5

Calcular o CRF:
\text{CRF}=\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}=\frac{0{,}06}{1-0{,}70496}=\frac{0{,}06}{0{,}29504}\approx0{,}203389.
Agora a recuperação anual do investimento de \$25.000 é
\text{CR}(\$25.000,0{,}06,6)=25.000\times0{,}203389\approx\$5.084{,}72\\ (\text{por ano}).
(Arredondei para centavos para ficar claro; pequenas diferenças de arredondamento não mudam a decisão aqui.)

Passo 6

Calcular o EAC (custo anual equivalente) da máquina nova: soma da recuperação anual do investimento com o custo operacional anual.
\text{EAC}_{N}=\text{CR}(\$25.000,0{,}06,6)+\$8.000\approx\$5.084{,}72+\$8.000=\$13.084{,}72/\text{ano}.
Explico: isso significa que, em média, a nova máquina custa \$13.084{,}72 por ano ao longo dos 6 anos.

Passo 7

Calcular o EAC da máquina velha. A máquina velha não exige investimento agora (investimento inicial é zero — custo já incorrido, um custo afundado/sunk cost), então a única componente anual relevante é o custo operacional. Assim:
\text{EAC}_{V}=\$12.000/\text{ano}.
Se quiséssemos ser formais com a fórmula, seria \text{CR}(0,0{,}06,2)=0 mais o custo operacional \$12.000.

Passo 8

Comparação final:
\text{EAC}_{V}=\$12.000/\text{ano}\quad\text{vs}\quad \text{EAC}_{N}\approx\$13.084{,}72/\text{ano}.
Como \$12.000 < \$13.084{,}72, a máquina velha apresenta menor custo anual equivalente. Portanto, a escolha econômica é não substituir agora.

Resposta

Não substituir a máquina; manter a máquina velha.

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