Calcule usando integrais duplas:
(2,5) integral0^1 integralx^2^1 sen(y)raizy d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de dfracsin(y)raizy sobre a região definida por 0<= x<=1 e x^2<= y<=1. Vamos usar o teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e simplificar.

Passo 2

A região D no plano (x,y) é dada por 0<= x<=1 e x^2<= y<=1. Se invertermos a ordem, primeiro fixamos y e depois x). Observamos que (y$ varia de varia de a a e, para cada e, para cada , , vai de vai de a a .

Passo 3

Trocando a ordem de integração, a integral fica:
integral0^1integralx^2^1 sin(y)raizy,dy,dx = integraly=0^1integralx=0^raizy sin(y)raizy,dx,dy
Na integral interna em x, o integrando dfracsin(y)raizy é constante em relação a x. Então:
integralx=0^raizy sin(y)raizy,dx = sin(y)raizy cdot l(raizy-0r) = sin(y)

Passo 4

Substituindo na integral externa, obtemos:
integral0^1 sin(y),dy
Agora basta calcular a integral de sin(y) de 0 a 1:
integral0^1 sin(y),dy = [-cos(y)]0^1 = -cos(1) + cos(0) = 1 - cos(1)

Resposta

1 - \cos(1)

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