Calcule, usando substituição trigonométrica.
integral raizx^2-16 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a integral integral raizx^2-16 , dx usando substituição trigonométrica. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar entender como usar substituições trigonométricas quando temos expressões do tipo raizx^2 - a^2.

Passo 2

Primeiro, identificamos que dentro da raiz temos x^2 - 16, que é igual a x^2 - 4^2. Isso nos indica que vamos usar a substituição x = 4 sectheta. Por quê? Porque sectheta é a função trigonométrica que facilita simplificar raizx^2 - a^2.

Passo 3

Fazendo a substituição x = 4 sectheta, derivamos para encontrar dx:
dx = 4 sectheta tantheta , dtheta
Isso nos ajuda a mudar a variável da integral de x para theta.

Passo 4

Substituímos x e dx na integral original:
integral raiz(4 sectheta)^2 - 16 cdot 4 sectheta tantheta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiz16 sec^2theta - 16 = raiz16 (sec^2theta - 1) = raiz16 tan^2theta = 4 tantheta

Passo 5

Agora, a integral fica:
integral 4 tantheta cdot 4 sectheta tantheta , dtheta = 16 integral tan^2theta sectheta , dtheta
Sabemos que tan^2theta = sec^2theta - 1, então substituímos:
16 integral (sec^2theta - 1) sectheta , dtheta = 16 integral (sec^3theta - sectheta) , dtheta

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
16 ( integral sec^3theta , dtheta - integral sectheta , dtheta )
Sabemos que:
integral sectheta , dtheta = ln |sectheta + tantheta| + C
E que:
integral sec^3theta , dtheta = 12 sectheta tantheta + 12 ln |sectheta + tantheta| + C

Passo 7

Substituindo de volta:
16 ( 12 sectheta tantheta + 12 ln |sectheta + tantheta| - ln |sectheta + tantheta| ) + C
Simplificando:
8 sectheta tantheta - 8 ln |sectheta + tantheta| + C

Passo 8

Agora, voltamos para a variável original x. Sabemos que:
sectheta = x4 e tantheta = raizx^2 - 164
Substituindo:
8 cdot x4 cdot raizx^2 - 164 - 8 ln |x4 + raizx^2 - 164| + C
Simplificando:
x raizx^2 - 162 - 8 ln |x + raizx^2 - 164| + C

Resposta

A integral integral raizx^2-16 , dx é igual a:
x raizx^2 - 162 - 8 ln |x + raizx^2 - 16| + C

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