Calcule utilizando integrais o centro de massa de uma placa retangular com:
a) Densidade superficial de massa uniforme, \sigma= \frac{d m}{d A}= constante .
b) Densidade superficial de massa não uniforme, \sigma=a x y (a é uma constante).
(Dicas: d m=\sigma d a, \vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}, d a=d x d y )

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de uma placa retangular no plano xy limitada por
0 \le x \le b,\quad 0 \le y \le h,
usando
dm = \sigma\,dA,\quad dA = dx\,dy,
e as fórmulas
M = \iint dm,\quad x_{\rm cm} = \frac{1}{M}\iint x\,dm,\quad y_{\rm cm} = \frac{1}{M}\iint y\,dm.

Passo 2

Parte (a): densidade uniforme \sigma = constante.
O peso total é
M = \iint_{0}^{b}\!\!\int_{0}^{h} \sigma\,dx\,dy = \sigma\int_{0}^{b}\int_{0}^{h}dy\,dx = \sigma\,b\,h.
Então
x_{\rm cm} = \frac{1}{M}\iint x\,dm = \frac{1}{\sigma b h}\int_{0}^{b}\!\!\int_{0}^{h} x\,\sigma\,dy\,dx = \frac{1}{b h}\int_{0}^{b} x\bigl(\int_{0}^{h}dy\bigr)dx = \frac{1}{b h}\int_{0}^{b} x\,h\,dx = \frac{h}{b h}\,\frac{b^2}{2} = \frac{b}{2}.
De modo análogo,
y_{\rm cm} = \frac{1}{M}\iint y\,dm = \frac{1}{\sigma b h}\int_{0}^{b}\!\!\int_{0}^{h} y\,\sigma\,dy\,dx = \frac{1}{b h}\int_{0}^{h} y\bigl(\int_{0}^{b}dx\bigr)dy = \frac{1}{b h}\int_{0}^{h} y\,b\,dy = \frac{b}{b h}\,\frac{h^2}{2} = \frac{h}{2}.

Passo 3

Concluímos para (a):
(x_{\rm cm},\,y_{\rm cm}) = \Bigl(\tfrac{b}{2},\,\tfrac{h}{2}\Bigr).

Passo 4

Parte (b): densidade não uniforme \sigma = a\,x\,y.
Primeiro o peso total:
M = \iint_{0}^{b}\!\!\int_{0}^{h} a\,x\,y\,dx\,dy = a\Bigl(\int_{0}^{b}x\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{h}y\,dy\Bigr) = a\,\frac{b^2}{2}\,\frac{h^2}{2} = \frac{a\,b^2\,h^2}{4}.
Agora
x_{\rm cm} = \frac{1}{M}\iint x\,dm = \frac{1}{M}\iint x\,(a\,x\,y)\,dx\,dy = \frac{a}{M}\Bigl(\int_{0}^{b}x^2\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{h}y\,dy\Bigr) = \frac{a}{M}\,\frac{b^3}{3}\,\frac{h^2}{2} = \frac{a\,b^3\,h^2/6}{a\,b^2\,h^2/4} = \frac{4}{6}\,b = \frac{2b}{3}.
E
y_{\rm cm} = \frac{1}{M}\iint y\,(a\,x\,y)\,dx\,dy = \frac{a}{M}\Bigl(\int_{0}^{b}x\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{h}y^2\,dy\Bigr) = \frac{a}{M}\,\frac{b^2}{2}\,\frac{h^3}{3} = \frac{a\,b^2\,h^3/6}{a\,b^2\,h^2/4} = \frac{4}{6}\,h = \frac{2h}{3}.

Passo 5

Concluímos para (b):
(x_{\rm cm},\,y_{\rm cm}) = \Bigl(\tfrac{2b}{3},\,\tfrac{2h}{3}\Bigr).

Resposta

(a) (x_{\rm cm},\,y_{\rm cm}) = \bigl(\tfrac{b}{2},\,\tfrac{h}{2}\bigr).
(b) (x_{\rm cm},\,y_{\rm cm}) = \bigl(\tfrac{2b}{3},\,\tfrac{2h}{3}\bigr).

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