Calcule, utilizando o método de Laplace, o determinante da matriz
matriz 5 \times 5 :
C=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 & 2 & -2 \\\\ 2 & 0 & 1 & 3 & 1 \\\\ -1 & 3 & 2 & 0 & 4 \\\\ 3 & -2 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de
C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 3\\\\ 0 & 1 & 4 & 2 & -2\\\\ 2 & 0 & 1 & 3 & 1\\\\ -1 & 3 & 2 & 0 & 4\\\\ 3 & -2 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
usando o método de Laplace, ou seja, expandindo em cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha para aproveitar o zero em a_{13}.

Passo 2

Expansão de Laplace ao longo da primeira linha:
\det\text{(C)} =\sum_{j=1}^{5}(-1)^{1+j}\,a_{1j}\,\det\bigl(M_{1j}\bigr) =\det(M_{11}) -2\,\det(M_{12}) +0 +\det(M_{14}) +3\,\det(M_{15}),
onde M_{1j} é a matriz obtida de C retirando a linha 1 e a coluna j.

Passo 3

Cálculo de \det(M_{11}), com
M_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 & -2\\\\ 0 & 1 & 3 & 1\\\\ 3 & 2 & 0 & 4\\\\ -2 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira coluna de M_{11} e calculando os menores 3×3, obtemos
\det(M_{11}) = 128.

Passo 4

Cálculo de \det(M_{12}), com
M_{12}=\begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 & -2\\\\ 2 & 1 & 3 & 1\\\\ -1 & 2 & 0 & 4\\\\ 3 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha e computando os menores, obtemos
\det(M_{12}) = -146.

Passo 5

Cálculo de \det(M_{14}), com
M_{14}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 & -2\\\\ 2 & 0 & 1 & 1\\\\ -1 & 3 & 2 & 4\\\\ 3 & -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha e calculando os menores 3×3, chega-se a
\det(M_{14}) = 53.

Passo 6

Cálculo de \det(M_{15}), com
M_{15}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 & 2\\\\ 2 & 0 & 1 & 3\\\\ -1 & 3 & 2 & 0\\\\ 3 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha e computando os menores, obtemos
\det(M_{15}) = -58.

Passo 7

Agora substituímos na fórmula do Passo 2:
\det\text{(C)} =128 \;-\;2\bigl(-146\bigr)\;+\;53\;+\;3\bigl(-58\bigr) =128+292+53-174 =299.

Resposta

299

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