Calcule o valor de:
8^{1+\log _{2} 3}

Passo 1

O enunciado pede calcular \,8^{1+\log_{2}3}.\n
Informações dadas:
  • A base é \,8.
  • O expoente é \,1+\log_{2}3.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade básica de potências que será útil: para números reais positivos a e quaisquer números reais b,c vale
a^{b+c}=a^{b}\cdot a^{c}.
Aqui a é a base da potência, e b,c são parcelas do expoente. Essa propriedade segue da soma dos expoentes na multiplicação de potências com mesma base.

Passo 3

Aplicando essa propriedade em \,8^{1+\log_{2}3} obtemos
8^{1+\log_{2}3}=8^{1}\cdot 8^{\log_{2}3}.
Isto separa o fator simples 8^{1} do fator que envolve o logaritmo.

Passo 4

Outra ideia que simplifica bastante é escrever \,8 como potência de 2, pois o logaritmo é na base 2. Observação:
8=2^{3}.
Substituindo na expressão original, temos
8^{1+\log_{2}3}=(2^{3})^{1+\log_{2}3}.

Passo 5

Usamos a propriedade (a^{m})^{n}=a^{m n}. Aplicando-a:
(2^{3})^{1+\log_{2}3}=2^{3(1+\log_{2}3)}=2^{3+3\log_{2}3}.
Aqui transformamos o expoente em um produto para poder separar em fatores mais simples.

Passo 6

Agora usamos que 2^{\log_{2}3}=3. Isto vem da definição do logaritmo: \log_{2}3 é o número que satisfaz 2^{\log_{2}3}=3. Assim,
2^{3+3\log_{2}3}=2^{3}\cdot 2^{3\log_{2}3}=2^{3}\cdot\bigl(2^{\log_{2}3}\bigr)^{3}=2^{3}\cdot 3^{3}.

Passo 7

Calcule os valores numéricos: 2^{3}=8 e 3^{3}=27. Portanto
2^{3}\cdot 3^{3}=8\cdot 27=216.

Resposta

216