Calcule o valor de cada inegral seguinte:
C=integral0^pi2 cos (2 x) sen^3(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral definida:
Matéria envolvida: Cálculo Integral, especificamente integração por substituição.
O que vamos precisar: Entender como usar a técnica de substituição para simplificar a integral e aplicar propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Temos:
Vamos reescrever como :
Sabemos que (uma identidade trigonométrica básica). Então:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a técnica de substituição. Vamos escolher uma parte da integral para facilitar a resolução.
Escolha da substituição:
  • Seja u = cos(2x)
Então, derivando ambos os lados em relação a x:

Passo 4

Substituindo u e du na integral original:
C = integralu(0)^u(pi2) u cdot (1 - u^2) cdot (-du2)
Ajustando os limites de integração:
  • Quando x = 0, u = cos(0) = 1
  • Quando x = pi2, u = cos(pi) = -1
Então, a integral fica:
C = -12 integral1^-1 u (1 - u^2) , du

Passo 5

Vamos trocar os limites de integração para manter a ordem correta, o que muda o sinal da integral:
C = 12 integral-1^1 u (1 - u^2) , du
Agora, vamos expandir o integrando:
u (1 - u^2) = u - u^3
Então:
C = 12 integral-1^1 (u - u^3) , du = 12 ( integral-1^1 u , du - integral-1^1 u^3 , du )

Passo 6

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
  1. Integral de u:
integral u , du = u^22 + C
  1. Integral de u^3:
integral u^3 , du = u^44 + C
Aplicando os limites de -1 a 1:
  1. Para integral-1^1 u , du:
[ u^22 ]-1^1 = (1)^22 - (-1)^22 = 12 - 12 = 0
  1. Para integral-1^1 u^3 , du:
[ u^44 ]-1^1 = (1)^44 - (-1)^44 = 14 - 14 = 0

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais de volta na expressão de C:
C = 12 ( 0 - 0 ) = 12 cdot 0 = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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