Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral definida:
Matéria envolvida: Cálculo Integral, especificamente integração por substituição.
O que vamos precisar: Entender como usar a técnica de substituição para simplificar a integral e aplicar propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Temos:
Vamos reescrever como :
Sabemos que (uma identidade trigonométrica básica). Então:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a técnica de substituição. Vamos escolher uma parte da integral para facilitar a resolução.
Escolha da substituição:
- Seja
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Ajustando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos trocar os limites de integração para manter a ordem correta, o que muda o sinal da integral:
Agora, vamos expandir o integrando:
Então:
Passo 6
Vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
- Integral de
:
- Integral de
:
Aplicando os limites de
a
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Substituindo os resultados das integrais de volta na expressão de
:
Resposta
O valor da integral é 0.