Calcule o valor da função de partição, energia média, calor específico e potencial químico de cada um dos gases. Analise-os assumindo-os como sistemas separados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a função de partição, energia média, calor específico e potencial químico de cada um dos gases, considerando cada gás como um sistema separado. Estamos falando de Termodinâmica Estatística aqui, então vamos usar conceitos dessa área. Para resolver, vamos precisar entender o que é função de partição, como calcular energia média, calor específico e potencial químico usando essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de partição, que é fundamental na Termodinâmica Estatística. A função de partição $ Z $ é uma soma sobre todos os estados possíveis do sistema, onde cada termo é $ e^{-\beta E_i} $, com $ \beta = \frac{1}{k_B T} $ (sendo $ k_B $ a constante de Boltzmann e $ T $ a temperatura) e $ E_i $ a energia do estado $ i $. Para um gás ideal, a função de partição de uma única molécula é:
Onde $ V $ é o volume e $ \lambda = \sqrt{\frac{h^2}{2\pi m k_B T}} $ é o comprimento de onda de De Broglie, com $ h $ sendo a constante de Planck e $ m $ a massa da molécula.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia média $ \langle E \rangle $. A energia média pode ser obtida derivando o logaritmo da função de partição em relação a $ \beta $:
Para um sistema de $ N $ moléculas, a função de partição total é $ Z = Z_1^N $, então:
Derivando em relação a $ \beta $:
Substituindo $ \lambda $ e simplificando, chegamos à energia média para um gás monoatômico ideal:
Passo 4
Seguimos para o calor específico $ C_V $, que é a derivada da energia média em relação à temperatura:
Usando a expressão da energia média:
Isso mostra que o calor específico a volume constante de um gás ideal monoatômico é constante e independente da temperatura.
Passo 5
Agora, vamos calcular o potencial químico $ \mu $. O potencial químico pode ser obtido a partir da função de partição usando:
Para $ Z = Z_1^N $:
Então:
Substituindo $ Z_1 = \frac{V}{\lambda^3} $:
Resposta
Para cada gás ideal monoatômico considerado como sistema separado, temos:
- Função de partição: $ Z = \left( \frac{V}{\lambda^3} \right)^N $
- Energia média: $ \langle E \rangle = \frac{3}{2} N k_B T $
- Calor específico a volume constante: $ C_V = \frac{3}{2} N k_B $
- Potencial químico: $ \mu = -k_B T \ln \left( \frac{V}{\lambda^3} \right) $
Esses resultados assumem que os gases são ideais, monoatômicos e os sistemas são considerados separados.