Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
\int_{-1}{2}(x+1){2} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{-1}^{2}(x+1)^{2}\,dx.
O conteúdo é cálculo de integrais de polinômios e vamos usar mudança de variável para simplificar.

Passo 2

Fazendo a substituição u = x+1, temos du = dx. Quando x=-1, u=0 e quando x=2, u=3. Assim a integral vira
\int_{-1}^{2}(x+1)^{2}\,dx \;=\;\int_{0}^{3}u^{2}\,du.

Passo 3

Calculamos a antiderivada de u^{2}, que é
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 4

Avaliamo-la entre 0 e 3:
\left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{0}^{3} = \frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{27}{3} = 9.

Resposta

9

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