Calcule o valor dos seguintes limites usando as propriedades:
$(h) h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da expressão . Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, usando propriedades de funções trigonométricas e limites. Para resolver, vamos precisar manipular as funções seno e utilizar aproximações quando as variáveis estão próximas de certos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador . Usando a identidade trigonométrica para , que é:
Aplicando isso no nosso caso:
Então, substituindo na expressão original:
Podemos fatorar :

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte quando :
  1. sen x: Quando x está próximo de 0, podemos usar a aproximação .
  2. : Quando y está próximo de pi, , e como , .
  3. cos(x): Novamente, quando x -> 0, .
  4. : Quando , , e podemos usar a aproximação .

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão:
Simplificando:

Passo 5

Agora, a expressão do limite fica:
Podemos dividir cada termo do numerador por x y:

Passo 6

Agora, avaliando o limite:
  1. quando é .
  2. quando x -> 0 e é 0, pois x -> 0.
Então, o limite total é:

Resposta

O valor do limite é .

Exercícios relacionados