Calcule a variação da energia de Gibbs molar do gás oxigênio quando sua pressão é aumentada isotermicamente de 50,0 \mathrm{kPa} para 100,0 \mathrm{kPa} a 500 K .
Bons estudos! Consulte a bibliografia recomendada na aula.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a variação da energia de Gibbs molar quando a pressão do gás oxigênio é aumentada isotermicamente de p_1=50{,}0\\ \mathrm{kPa} para p_2=100{,}0\\ \mathrm{kPa} à temperatura T=500\\ \mathrm{K}. Dados relevantes fornecidos:
p_1=50{,}0\\ \mathrm{kPa},\qquad p_2=100{,}0\\ \mathrm{kPa},\qquad T=500\\ \mathrm{K}.
A pergunta é: qual é \Delta\bar{G}, a variação da energia de Gibbs por mol, para essa transformação isotérmica?

Passo 2

Vamos começar lembrando uma relação fundamental que liga variações de energia de Gibbs a variações de temperatura e pressão. Para uma substância pura, a diferencial do potencial de Gibbs G é
dG = -S\,dT + V\,dp,
onde S é a entropia e V o volume. Em termos molares isso fica
d\bar{G} = -\bar{S}\,dT + \bar{V}\,dp,
em que \bar{G} é a energia de Gibbs molar, \bar{S} a entropia molar e \bar{V} o volume molar. Aqui expliquei o que cada símbolo significa: d\bar{G} é a pequena mudança na energia de Gibbs por mol; dT é a pequena mudança de temperatura; dp é a pequena mudança de pressão.

Passo 3

A transformação é isotérmica, portanto a temperatura é constante e dT=0. Isso simplifica a expressão anterior para
d\bar{G}=\bar{V}\,dp.
Isto diz que, à temperatura constante, a variação molar de Gibbs ao aumentar a pressão depende apenas do volume molar.

Passo 4

Para um gás que se comporte como gas ideal (aproximação razoável nas condições dadas), o volume molar \bar{V} é dado pela equação dos gases ideais:
p\bar{V}=RT,
onde R é a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta. Desse modo
\bar{V}=\frac{RT}{p}.
Aqui R significa a constante dos gases ideais com unidade \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 5

Substituindo \bar{V}=\dfrac{RT}{p} em d\bar{G}=\bar{V}\,dp obtemos
d\bar{G}=\frac{RT}{p}\,dp.
Integramos essa expressão de p_1 até p_2 para obter a variação total:
\Delta\bar{G}=\int_{p_1}^{p_2}\frac{RT}{p}\,dp=RT\int_{p_1}^{p_2}\frac{1}{p}\,dp=RT\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).
Note que R e T são constantes durante a integração (isotérmica), e que a razão p_2/p_1 é adimensional, como deve ser para o argumento do logaritmo.

Passo 6

Agora fazemos a conta numérica. Usamos R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}. Então
RT=8{,}314\times 500 = 4\,157{,}0\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
A razão de pressões é \dfrac{p_2}{p_1}=\dfrac{100{,}0}{50{,}0}=2, portanto \ln\!\left(\dfrac{p_2}{p_1}\right)=\ln 2\approx 0{,}693147. Multiplicando,
\Delta\bar{G}=4\,157{,}0\times 0{,}693147 \approx 2\,881{,}6\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
O sinal positivo indica que, à temperatura constante, aumentar a pressão do gás aumenta a energia de Gibbs molar (ou seja, o estado se torna termodinamicamente menos estável em termos de G).

Resposta

2\,881{,}6\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} (aproximadamente 2{,}88\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}})

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