Calcule a variação da energia livre de Gibbs do óxido de magnésio ( MgO ) quando 1 mol da substância é aquecido de 298 K a 1300 K a 1 atm . Considere que C_{P}=48.99+3.43 \times 10^{-3} T-11.34 \times 10^{-5} T^{-2} J / \mathrm{mol} / \mathrm{K} e S_{298}=25.9 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} / \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado pede a variação da energia livre de Gibbs \Delta G de 1 mol de MgO ao aquecer de T_0=298 K até T=1300 K a 1 atm, sabendo que
C_{p}(T)=48.99 + 3.43\times10^{-3}\,T \;- 11.34\times10^{-5}\,T^{-2} \quad\bigl[J\!/\mathrm{mol}/\mathrm{K}\bigr]
e que a entropia em 298 K é S_{298}=25.9,J/mol/K.
O conteúdo que vamos usar é a relação
G(T)=H(T)-T\,S(T)
e as variações
\Delta H=\int_{T_0}^{T}C_{p}(T)\,dT, \quad \Delta S=\int_{T_0}^{T}\frac{C_{p}(T)}{T}\,dT.

Passo 2

A variação desejada é
\Delta G =G(T)-G(T_0) =\bigl[H(T)-T\,S(T)\bigr]-\bigl[H(T_0)-T_0\,S(T_0)\bigr].
Como
H(T)=H(T_0)+\int_{T_0}^{T}C_p\,dT, \qquad S(T)=S(T_0)+\int_{T_0}^{T}\frac{C_p}{T}\,dT,
segue
\Delta G =\underbrace{\int_{T_0}^{T}C_p\,dT}_{I_1} \;-\;T\;\underbrace{\int_{T_0}^{T}\frac{C_p}{T}\,dT}_{I_2} \;+\;(T_0 - T)\,S_{T_0}.

Passo 3

Calculamos primeiro
I_1=\int_{298}^{1300}\!C_p\,dT =\int_{298}^{1300}\!\Bigl(a + bT + cT^{-2}\Bigr)\,dT,
com a=48.99, b=3.43\times10^{-3}, c=-1.134\times10^{-4}.
I_1 =a\,(T-T_0) +\frac{b}{2}\,(T^2 - T_0^2) +c\Bigl(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T}\Bigr).
Numericamente,
I_1\approx48.99\cdot1002 + \frac{3.43\times10^{-3}}{2}(1300^2-298^2) +(-1.134\times10^{-4})\Bigl(\tfrac1{298}-\tfrac1{1300}\Bigr) \approx5.1834\times10^{4}\,\mathrm{J}.

Passo 4

Agora
I_2=\int_{298}^{1300}\frac{C_p}{T}\,dT =\int_{298}^{1300}\!\Bigl(\frac{a}{T} + b + c\,T^{-3}\Bigr)\,dT
= a\ln\frac{T}{T_0} + b\,(T-T_0) - \frac{c}{2}\Bigl(T^{-2}-T_0^{-2}\Bigr).
Numericamente,
I_2\approx48.99\ln\frac{1300}{298} +3.43\times10^{-3}\cdot1002 -\frac{-1.134\times10^{-4}}{2}\Bigl(1300^{-2}-298^{-2}\Bigr) \approx75.59\,\mathrm{J}.

Passo 5

Substituindo em
\displaystyle\Delta G =I_1 - T\,I_2 + (T_0-T)\,S_{298}, com T=1300, T_0=298, S_{298}=25.9:
\Delta G \approx5.1834\times10^{4} -1300\times75.59 +(298-1300)\times25.9 \approx -7.2390\times10^{4}\,\mathrm{J}.

Resposta

\displaystyle\Delta G\approx -7.24\times10^{4}\,\mathrm{J/mol} (ou -72.4 kJ/mol).

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