Mostre que d F=-(S+P V \alpha) d T+P V \beta d P para F=F(T, P).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao tratar a energia livre de Helmholtz
F=F(T,V)
como função de T e P, seu diferencial fica
dF=-(S+P\,V\,\alpha)\,dT+P\,V\,\beta\,dP.
O que vamos usar é (i) o diferencial natural de F(T,V), (ii) as definições do coeficiente de dilatação térmica \alpha e da compressibilidade isoterma \beta, e (iii) a regra da cadeia para trocar V por P.

Passo 2

Para a energia livre de Helmholtz temos como variáveis naturais T e V:
dF=-S\,dT - P\,dV.
Aqui S é a entropia e P a pressão.

Passo 3

Definimos o coeficiente de dilatação térmica e a compressibilidade isoterma por
\alpha = \frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}, \qquad \beta = -\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{T}.
Com isso, o diferencial de V, visto como função de T e P, é
dV = \Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}dT + \Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{T}dP = V\,\alpha\,dT - V\,\beta\,dP.

Passo 4

Substituindo dV em
dF=-S\,dT - P\,dV
vem
dF = -S\,dT \;-\; P\bigl(V\,\alpha\,dT - V\,\beta\,dP\bigr) = -\bigl(S + P\,V\,\alpha\bigr)dT + P\,V\,\beta\,dP.

Resposta

dF=-(S+P\,V\,\alpha)\,dT+P\,V\,\beta\,dP.

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