Um mol de uma substância sólida termicamente isolada por paredes adiabáticas é comprimido reversivelmente. Considerando S=S(T, P), Mostre que
\frac{d T}{T}=\frac{V \alpha}{C_{P}} d P

Passo 1

O enunciado fala de um mol de sólido isolado termicamente (adiabático) sofrendo compressão reversível, de modo que a entropia S permanece constante. Queremos usar a função de estado
S = S(T,P)
e mostrar a relação entre dT e dP. Para isso precisaremos do diferencial total de S e das identidades termodinâmicas que envolvem C_{P} e o coeficiente de dilatação térmica \alpha.

Passo 2

Escrevemos o diferencial total de S em função de suas variáveis de estado:
dS = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P} dT \;+\;\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} dP.

Passo 3

Usamos as relações termodinâmicas conhecidas:
\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P} = \frac{C_{P}}{T}, \qquad \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} = -\,V\,\alpha.
Substituindo em dS obtemos
dS = \frac{C_{P}}{T}\,dT \;-\;V\,\alpha\,dP.

Passo 4

Como o processo é reversível e adiabático, temos dS=0. Logo,
0 = \frac{C_{P}}{T}\,dT \;-\;V\,\alpha\,dP.
Reorganizando para isolar dT sobre T
\frac{C_{P}}{T}\,dT = V\,\alpha\,dP \quad\Longrightarrow\quad \frac{dT}{T} = \frac{V\,\alpha}{C_{P}}\,dP.

Resposta

\frac{dT}{T} = \frac{V\,\alpha}{C_{P}}\,dP.

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