Mostre que C_{P}=C_{V}+\frac{\alpha^{2} V T}{\beta}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a relação entre as capacidades térmicas a pressão e a volume constantes, ou seja,
C_{P}=C_{V}+\frac{\alpha^{2} V T}{\beta}.
O conteúdo é termodinâmica: vamos usar definições de capacidade térmica, coeficiente de dilatação térmica \alpha, compressibilidade isoterma \beta, relações de Maxwell e regras de derivadas parciais.

Passo 2

Definimos as capacidades térmicas por
C_{V}=T\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{V}, \quad C_{P}=T\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{P}.

Passo 3

Usamos a regra da cadeia para escrever
\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{P} =\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{V} +\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr)_{T}\, \Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}.
Multiplicando por T e subtraindo C_{V} obtemos
C_{P}-C_{V} = T\,\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr)_{T} \Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}.

Passo 4

Pela relação de Maxwell extraída de dU=TdS-PdV, temos
\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr)_{T} =\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V}.
Logo
C_{P}-C_{V} = T\,\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V} \Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}.

Passo 5

Usamos as definições
\alpha=\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}=\alpha V,
\beta=-\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{T} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{T}=-\beta V.
Para achar \bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\bigr)_{V} usamos a identidade dos determinantes parciais
\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V} =-\frac{\bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\bigr)_{P}} {\bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\bigr)_{T}} =-\frac{\alpha V}{-\beta V} =\frac{\alpha}{\beta}.

Passo 6

Substituindo no resultado de C_{P}-C_{V} temos
C_{P}-C_{V} = T\;\frac{\alpha}{\beta}\;(\alpha V) =\frac{\alpha^{2}V\,T}{\beta},
ou seja
C_{P} = C_{V} + \frac{\alpha^{2} V T}{\beta}.

Resposta

C_{P}=C_{V}+\frac{\alpha^{2} V T}{\beta}.

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