Calcule a variação de entropia de um mol de um gás ideal poliatômico que se expande de um volume V para um volume 2 V e simultaneamente se resfria de uma temperatura T para uma temperatura T / 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a variação de entropia de um mol de um gás ideal poliatômico que se expande de um volume $ V $ para $ 2V $ e, ao mesmo tempo, sua temperatura cai de $ T $ para $ \frac{T}{4} $.
Matéria envolvida: Termodinâmica, especificamente a segunda lei e a entropia em processos de gases ideais.
O que vamos precisar: Fórmulas para calcular a variação de entropia ($ \Delta S $) em processos envolvendo mudanças de volume e temperatura para gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a variação de entropia de um gás ideal quando há mudanças tanto na temperatura quanto no volume:
De
Onde:
  • $ n $ é o número de mols (no caso, 1 mol).
  • $ C_v $ é a capacidade calorífica a volume constante.
  • $ R $ é a constante dos gases ideais ($ \approx 8,314 , J/mol·K $).
  • $ T_1 $ e $ T_2 $ são as temperaturas inicial e final.
  • $ V_1 $ e $ V_2 $ são os volumes inicial e final.

Passo 3

Vamos substituir os valores fornecidos no enunciado na fórmula:
  • $ n = 1 $ mol
  • $ V_2 = 2V $
  • $ T_2 = \frac{T}{4} $
Então, temos:
n = 1

Passo 4

Simplificando as frações dentro dos logaritmos:
De

Passo 5

Lembrando que $ \ln\left(\frac{1}{4}\right) = \ln(4^{-1}) = -\ln(4) $, podemos reescrever:
ln(14) = ln(4^-1) = -ln(4)

Passo 6

Sabendo que $ \ln(4) = 2 \ln(2) $, substituímos na equação:
ln(4) = 2 ln(2)

Passo 7

Para um gás poliatômico, a capacidade calorífica a volume constante $ C_v $ é relacionada aos graus de liberdade $ f $ do gás pela fórmula:
Cv
Onde: $ f $ é o número de graus de liberdade do gás poliatômico (por exemplo, 5 para uma molécula linear).

Passo 8

Substituindo $ C_v $ na equação da variação de entropia:
Cv

Resposta

A variação de entropia é:
De

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