Calcule a variação de entropia de um mol de um gás ideal poliatômico que se expande de um volume
para um volume 2 V e simultaneamente se resfria de uma temperatura
para uma temperatura
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a variação de entropia de um mol de um gás ideal poliatômico que se expande de um volume $ V $ para $ 2V $ e, ao mesmo tempo, sua temperatura cai de $ T $ para $ \frac{T}{4} $.
Matéria envolvida: Termodinâmica, especificamente a segunda lei e a entropia em processos de gases ideais.
O que vamos precisar: Fórmulas para calcular a variação de entropia ($ \Delta S $) em processos envolvendo mudanças de volume e temperatura para gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a variação de entropia de um gás ideal quando há mudanças tanto na temperatura quanto no volume:
Onde:
- $ n $ é o número de mols (no caso, 1 mol).
- $ C_v $ é a capacidade calorífica a volume constante.
- $ R $ é a constante dos gases ideais ($ \approx 8,314 , J/mol·K $).
- $ T_1 $ e $ T_2 $ são as temperaturas inicial e final.
- $ V_1 $ e $ V_2 $ são os volumes inicial e final.
Passo 3
Vamos substituir os valores fornecidos no enunciado na fórmula:
- $ n = 1 $ mol
- $ V_2 = 2V $
- $ T_2 = \frac{T}{4} $
Então, temos:
Passo 4
Simplificando as frações dentro dos logaritmos:
Passo 5
Lembrando que $ \ln\left(\frac{1}{4}\right) = \ln(4^{-1}) = -\ln(4) $, podemos reescrever:
Passo 6
Sabendo que $ \ln(4) = 2 \ln(2) $, substituímos na equação:
Passo 7
Para um gás poliatômico, a capacidade calorífica a volume constante $ C_v $ é relacionada aos graus de liberdade $ f $ do gás pela fórmula:
Onde: $ f $ é o número de graus de liberdade do gás poliatômico (por exemplo, 5 para uma molécula linear).
Passo 8
Substituindo $ C_v $ na equação da variação de entropia:
Resposta
A variação de entropia é: