Calcule a velocidade angular média de cada um dos três ponteiros de um relógio. Sabendo que os raios dos ponteiros das horas, minutos e segundos são respectivamente 6 cm, 8 cm e 10 cm , calcule também, a velocidade média de cada um dos ponteiros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a velocidade angular média de cada um dos três ponteiros de um relógio: horas, minutos e segundos. Além disso, com os raios fornecidos para cada ponteiro ( 6 cm, 8 cm e 10 cm), vamos calcular também a velocidade linear média de cada um deles. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular, especificamente velocidades angular e linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade angular média. A velocidade angular ( omega) nos diz o quão rápido um objeto está girando em torno de um ponto, medida em radianos por unidade de tempo (por exemplo, rad/s). A fórmula para calcular a velocidade angular média é:
omega = De
Onde:
  • De é a variação do ângulo (em radianos)
  • De é o intervalo de tempo
Para os ponteiros do relógio:
  • O ponteiro das horas dá uma volta completa (360° ou 2pi rad) em 12 horas.
  • O ponteiro dos minutos dá uma volta completa em 60 minutos.
  • O ponteiro dos segundos dá uma volta completa em 60 segundos.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade angular média de cada ponteiro usando a fórmula acima.
  1. Ponteiro das Horas:
    • De rad
    • De horas = 12 times 3600 segundos = 43200 segundos
    • Então,
    omegahoras = 2pi43200 approx 0,000145 rad/s
  2. Ponteiro dos Minutos:
    • De rad
    • De minutos = 3600 segundos
    • Então,
    omegaminutos = 2pi3600 approx 0,001745 rad/s
  3. Ponteiro dos Segundos:
    • De rad
    • De segundos
    • Então,
    omegasegundos = 2pi60 approx 0,10472 rad/s

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade linear média de cada ponteiro. A velocidade linear ( v) está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
v = omega times r
Onde:
  • omega é a velocidade angular
  • r é o raio (comprimento do ponteiro)
Vamos aplicar essa fórmula para cada ponteiro:
  1. Ponteiro das Horas:
    • omegahoras approx 0,000145 rad/s
    • r = 6 cm = 0,06 m
    • Então,
    vhoras = 0,000145 times 0,06 approx 0,0000087 m/s
  2. Ponteiro dos Minutos:
    • omegaminutos approx 0,001745 rad/s
    • r = 8 cm = 0,08 m
    • Então,
    vminutos = 0,001745 times 0,08 approx 0,000140 m/s
  3. Ponteiro dos Segundos:
    • omegasegundos approx 0,10472 rad/s
    • r = 10 cm = 0,10 m
    • Então,
    vsegundos = 0,10472 times 0,10 approx 0,010472 m/s

Resposta

A velocidade angular média dos ponteiros do relógio e suas respectivas velocidades lineares médias são:
  • Ponteiro das Horas:
    • Velocidade Angular: omega approx 0,000145 rad/s
    • Velocidade Linear: v approx 0,0000087 m/s
  • Ponteiro dos Minutos:
    • Velocidade Angular: omega approx 0,001745 rad/s
    • Velocidade Linear: v approx 0,000140 m/s
  • Ponteiro dos Segundos:
    • Velocidade Angular: omega approx 0,10472 rad/s
    • Velocidade Linear: v approx 0,010472 m/s

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