Calcule o volume do elipsóide
utilizando coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado pede o volume do elipsóide definido por
usando coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui é integral tripla em coordenadas cilíndricas, onde faremos a mudança
e o elemento de volume é .
e o elemento de volume é
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, a equação fica
Para pontos dentro do elipsóide,
varia de
até
,
de
a
, e para cada
o
satisfaz
Passo 3
O volume
é dado pela integral tripla
Passo 4
Primeiro, integramos em
:
Logo a integral torna-se
Passo 5
Agora integramos em
. Faça a substituição
, logo
, ou
. Quando
,
; quando
,
. Assim
Portanto
Resposta
O volume do elipsóide é
.