Calcule o volume da região limitada por:
Volume limitado por z=49-x^{2}-y^{2} e z=0 sobre x^{2}+y^{2} \leq 49.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região limitada pela parábola invertida z=49 - x^{2} - y^{2} e pelo plano z=0, projetada no plano xy pelo disco x^{2}+y^{2}\le 49. O conteúdo usado aqui é o de integrais duplas em coordenadas polares para cálculo de volumes.

Passo 2

Passamos para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com 0\le r\le 7 e 0\le\theta\le2\pi. O elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta, e a “altura” da região em cada ponto é
z_{\text{top}} \;-\; z_{\text{bot}} = (49 - r^{2}) - 0 = 49 - r^{2}.

Passo 3

Montamos a integral para o volume:
V = \iint_{\;x^{2}+y^{2}\le49\;} (49 - r^{2})\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{7} (49 - r^{2})\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos a integral em r:
\int_{0}^{7} (49r - r^{3})\,dr = \Bigl[\tfrac{49\,r^{2}}{2} - \tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{7} = \frac{49\cdot49}{2} - \frac{7^{4}}{4} = \frac{2401}{2} - \frac{2401}{4} = \frac{2401}{4}.
Logo,
V = \int_{0}^{2\pi} \frac{2401}{4}\,d\theta = \frac{2401}{4}\cdot 2\pi = \frac{2401\pi}{2}.

Resposta

O volume da região é
V = \frac{2401\pi}{2}.

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