Calcule o volume da região limitada por:
Volume limitado por z=81-x^{2}-y^{2} e z=0 sobre x^{2}+y^{2} \leq 81.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região limitada pela superfície z=81 - x^{2}-y^{2} e pelo plano z=0, restrita ao cilindro x^{2}+y^{2}\le81. O conteúdo aqui é cálculo de volume por integração tripla, e vamos precisar escolher coordenadas cilíndricas para simplificar.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com a região projetada no plano xy dada por 0 \le r \le 9 e 0 \le \theta \le 2\pi. A superfície superior fica z = 81 - r^{2} e a inferior é z = 0. O elemento de volume é dV = r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

O volume V é
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{9}\!\int_{0}^{81 - r^{2}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{81 - r^{2}} r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{0}^{81 - r^{2}} = r\bigl(81 - r^{2}\bigr).

Passo 4

Agora o integral em r e \theta:
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{9} r\,(81 - r^{2})\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\Bigl[\int_{0}^{9}(81r - r^{3})\,dr\Bigr]\,d\theta.
Calculemos
\int_{0}^{9}(81r - r^{3})\,dr = \Bigl[\tfrac{81\,r^{2}}{2} - \tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{9} = \frac{81\cdot81}{2} - \frac{9^{4}}{4} = \frac{6561}{2} - \frac{6561}{4} = \frac{6561}{4}.

Passo 5

Finalmente,
V = \int_{0}^{2\pi} \frac{6561}{4}\,d\theta = \frac{6561}{4}\,\bigl[\,\theta\,\bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{6561}{4}\cdot 2\pi = \frac{6561\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{6561\pi}{2}

Exercícios relacionados