Calcule o volume do sólido abaixo do paraboloide 
  e acima do plano 
 .
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido que está abaixo do paraboloide 
  e acima do plano 
 . Para isso, vamos usar cálculo, especificamente integrais duplas, e coordenadas polares para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar onde o paraboloide e o plano se intersectam. Isso acontece quando 
 . Vamos resolver essa equação:
Então, a interseção é um círculo com raio 
 , ou 
 .
Passo 3
Agora, vamos expressar o volume como uma integral dupla usando coordenadas polares, pois a região de integração é circular. Lembrando que em coordenadas polares, 
  e 
 , e o elemento de área é 
 .
Passo 4
O volume 
  é dado pela diferença entre as alturas do paraboloide e do plano, integradas sobre a região circular encontrada:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos integrar primeiro em relação a 
 :
Agora, integramos em relação a 
 :
Resposta
O volume do sólido é 
  unidades cúbicas.