Calcule o volume do sólido W definido como abaixo
W = {(x, y, z) ∈ R³ ; x² + (y - 1)² + z² ≤ 1, z ≥ raiz(x² + y²)}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o volume de um sólido definido por duas condições. Primeiro, temos a equação de uma esfera:
Essa é uma esfera com centro no ponto e raio 1. A segunda condição é:
Essa segunda condição define uma região acima de um cone circular reto. Então, para achar o volume de , precisamos encontrar a parte da esfera que está acima desse cone.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a esfera e o cone se intersectam. Para isso, igualamos as duas expressões para :
Substituindo na equação da esfera:
Simplificando:
Dividindo tudo por 2:
Completando o quadrado para :
Isso mostra que a interseção é um círculo com centro em e raio .

Passo 3

Agora, para facilitar os cálculos, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
A equação da esfera fica:
E a equação do cone fica:
Nosso objetivo é integrar sobre a região onde essas duas condições são satisfeitas.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. A interseção ocorre quando . Substituindo na equação da esfera:
Resolvendo para , encontramos que o raio máximo de integração é .

Passo 5

Agora, configuramos a integral para o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume é dado por:
Simplificando e resolvendo essa integral, obtemos o volume desejado.

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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