Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
a) D = {(x, y, z) em R^3 ; 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 4 - x^2 - y^2}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando integração tripla para encontrar o volume de um sólido. O enunciado nos dá uma região definida pelas seguintes condições:
Isso significa que e variam de 0 a 1, e para cada par , vai desde 0 até . Vamos precisar usar a integração tripla para calcular o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o volume pode ser encontrado integrando a função sobre a região :
Aqui, a função representa que estamos somando infinitos pequenos volumes para cobrir toda a região .

Passo 3

Vamos configurar os limites de integração. Observando as restrições:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 a 1.
  • Para cada par , varia de 0 a .
Portanto, a integral fica assim:

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a :
Agora, nossa integral reduz para:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a . A integral interna é:
Calculando cada parte:
Então, a integral em relação a fica:
Agora, nossa integral é:

Passo 6

Finalmente, vamos integrar em relação a :
Calculando:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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