Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
i) Sólido delimitado pelo parabolóide elíptico 3 x^2 + y^2 = z e abaixo do cilindro x^2 + z = 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido usando integração tripla. Esse sólido é limitado por um parabolóide elíptico dado por e está abaixo do cilindro . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral multivariável, especialmente integração em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que delimitam o sólido.
  • Parabolóide elíptico : Essa é uma superfície que abre para cima, já que o coeficiente de é positivo. Ela descreve como varia com e .
  • Cilindro : Esse cilindro é paralelo ao eixo e descreve como varia com .
Nosso objetivo é encontrar a região onde essas duas superfícies se intersectam para definir os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar a interseção das duas superfícies, igualamos as expressões para :
Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre e :
Essa é a equação de uma elipse no plano .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando a equação da elipse , vemos que:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .
Para , o parabolóide está abaixo do cilindro, então varia de até .

Passo 5

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral simplifica para:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Vamos calcular cada termo separadamente:
Aplicando os limites de :
Simplificando:

Passo 8

Agora, a integral para fica:
Devido à simetria da função em relação a , podemos simplificar a integral:

Passo 9

Para resolver a integral , usamos uma substituição trigonométrica. Vamos deixar isso resumido:
A integral resulta em .

Passo 10

Substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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