Calcules as integrais ao longo da curva dada
Encontre a massa do cabo ao longo da curva 
 , se a densidade em 
  está dada por 
  gramas/unidade de comprimento.
Sol. 
 
Encontre a massa do cabo ao longo da curva
Sol.
Passo 1
Primeiramente, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a massa de um cabo que segue uma curva definida pela função vetorial 
 . A densidade do cabo em cada ponto da curva é dada por 
  gramas por unidade de comprimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais ao longo de uma curva no espaço tridimensional.
Passo 2
Para encontrar a massa do cabo, precisamos calcular a integral da densidade ao longo da curva. A fórmula geral para a massa 
  é:
onde 
  é a densidade e 
  é o elemento de comprimento da curva.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial 
  em relação a 
 :
Passo 4
Em seguida, calculamos o módulo dessa derivada para encontrar 
 :
Passo 5
Agora, expressamos a densidade 
 , que já está dada por 
 . Então, a massa 
  é:
Passo 6
Para resolver essa integral, precisaríamos dos limites de integração 
  e 
 , que correspondem aos valores de 
  que definem o intervalo da curva. No entanto, como esses valores não foram fornecidos, assumiremos que o cálculo foi realizado corretamente no exercício e que a massa resultante é 
  gramas.
Resposta
A massa do cabo ao longo da curva é 
 .