Cálculo da Área Lateral em Prisma Oblíquo:
A área lateral de um prisma é dada por A_{l}=2 p_{S_{r}} \cdot a, onde 2 p_{S_{r}} é o perímetro da seção reta e a é a aresta lateral. Um prisma oblíquo possui aresta lateral a=10 \mathrm{~cm}. Se o perímetro de sua seção reta for 9 cm , calcule a área lateral ( A_{l} ) do prisma.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área lateral do prisma, indicada por \,A_{l}.
As informações fornecidas são:
\,a=10\\ \mathrm{cm} (aresta lateral do prisma).
O perímetro da seção reta do prisma é \,9\\ \mathrm{cm}.
O enunciado também fornece a fórmula da área lateral:
A_{l}=2\,p_{S_{r}}\cdot a,
onde (segundo o enunciado) \,2\,p_{S_{r}} é o perímetro da seção reta e \,a é a aresta lateral.

Passo 2

Entendendo a fórmula e os símbolos (explicação didática e passo a passo).
  • Primeiro, vamos identificar o que é cada símbolo: \,a é a aresta lateral (a “altura inclinada” do prisma oblíquo) e \,2\,p_{S_{r}} representa o perímetro total da seção reta (o enunciado já disse isso). Portanto, podemos chamar o perímetro por \,P, com
P = 2\,p_{S_{r}}.
  • Por que a área lateral vale perímetro vezes aresta lateral? Pense assim: o prisma tem várias faces laterais (uma por cada lado da seção). Cada face lateral é um paralelogramo cuja base é um lado da seção e cuja altura é \,a. A área de um paralelogramo é base vezes altura. Somando a área de todas as faces, somamos (lado1 + lado2 + … + ladon) vezes \,a, que é exatamente o perímetro \,P multiplicado por \,a. Logo:
A_{l}=P\cdot a = (2\,p_{S_{r}})\cdot a.
  • Observação sobre unidades: o perímetro tem unidade de comprimento ( \mathrm{cm}) e \,a também ( \mathrm{cm}). Ao multiplicar, obtemos área ( \mathrm{cm}^2).

Passo 3

Substituindo os valores dados na fórmula. O enunciado disse que o perímetro da seção reta é \,9\\ \mathrm{cm}. Como \,2\,p_{S_{r}} é o perímetro, temos \,2\,p_{S_{r}}=9\\ \mathrm{cm}. Agora aplicamos a fórmula
A_{l}=(2\,p_{S_{r}})\cdot a.
Substituindo:
A_{l}=9\\ \mathrm{cm}\times 10\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Efetuando a multiplicação e verificando unidades.
Multiplicando os números:
9\times 10 = 90.
Multiplicando as unidades:
\mathrm{cm}\times\mathrm{cm}=\mathrm{cm}^2.
Portanto,
A_{l}=90\\ \mathrm{cm}^2.
Checando rapidamente: se a “altura lateral” fosse \,1\\ \mathrm{cm} a área lateral seria igual ao perímetro ( 9\\ \mathrm{cm}), e com \,10\\ \mathrm{cm} de aresta lateral a área lateral razoavelmente aumenta para \,90\\ \mathrm{cm}^2. Faz sentido.

Resposta

\,90\\ \mathrm{cm}^2

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