(Cálculo de determinantes por operações elementares) Calcular os determinantes das matrizes abaixo indicadas através de operações elementares sobre as linhas ou colunas das matrizes.
23.6[rrrr1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & 1 1 & 1 & 1 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4 usando operações elementares nas linhas. A matéria envolvida aqui é o Cálculo de Determinantes e vamos precisar entender como usar operações como trocar, multiplicar ou somar linhas para simplificar a matriz e facilitar o cálculo do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que precisamos calcular o determinante:
1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & 1 1 & 1 & 1 & -1

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos usar operações elementares nas linhas para transformar a matriz em uma forma mais simples, preferencialmente uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros). Lembrando que somar ou subtrair linhas não altera o determinante.

Passo 4

Vamos subtrair a primeira linha de cada uma das outras linhas:
  • Linha 2: 1 - 1 = 0, -1 - 1 = -2, 1 - 1 = 0, 1 - 1 = 0
1 - 1 = 0, 1 - 1 = 0, -1 - 1 = -2, 1 - 1 = 0
Nova Linha 2: 1 - 1 = 0, 1 - 1 = 0, 1 - 1 = 0, -1 - 1 = -2
  • Linha 3: 1 & 1 & 1 & 1 0 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & -2
Nova Linha 3:
  • Linha 4:
Nova Linha 4:
A matriz agora fica assim:

Passo 5

Agora que a matriz está em forma triangular superior (com zeros abaixo da diagonal principal), calcular o determinante fica mais fácil. O determinante de uma matriz triangular é apenas o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, multiplicamos os elementos da diagonal:
1 times (-2) times (-2) times (-2) = 1 times (-2) times 4 = -8

Resposta

O determinante da matriz dada é -8.

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